Метод минимального риска

Для определения риска потерь из-за неправильного диагноза R используется выражение:

R = С₂₁·Р(D₂₁) + С₁₂·Р(D₁₂) = С₂₁·Р₁ · (k/D₁)dk + С₁₂·Р₂ · (k /D₂)·dk.

где С₂₁ - стоимость ложной тревоги; С₁₂ - стоимость пропуска отказа.

Необходимо найти значение параметра k₀. Эта величина находится из условия минимального среднего риска.

Дифференцируя выражение для R по k и приравнивая производную нулю, получим условие экстремума функции риска потерь в виде:

dR/dk = С₁₂·Р₂ · f(k/D₂) – С₂₁·Р₁ · f(k/D₁) = 0.

Из данного выражение получим отношение правдоподобия:

f(k/D₁)/f(k/D₂) = С₁₂·Р₂/С₂₁·Р₁.

Это условие определяет два значения k, из которых одно соответствует минимуму риска, а второе соответствует максимуму риска. Для получения минимума риска R должно выполняться условие, чтовторая производная функции риска R должна быть положительной, то есть:

d²R/dk² > 0.

Для одномодальных распределений плотность распределения функции условной вероятности показателя k вида f(k/D_i), т.е. когдаэти функциисодержат не более одного максимума,на интервале k ₁ < k < k₂ это условие выполняется.

В соответствии с соотношением правдоподобия вида f(k/D₁)/f(k/D₂) = С₁₂·Р₂/С₂₁·Р₁, правило решения по методу минимального риска имеет вид:

k D₁ при f(k/D₁)/f(k/D₂) > С₁₂·Р₂/С₂₁·Р₁;

k D₂ при f(k/D₁)/f(k/D₂) < С₁₂·Р₂/С₂₁·Р₁.

Соблюдение правила решения проверяется при k = k_min. Найдем значение k_min.

Рассмотрим случай, когда параметр k имеет нормальное распределение при исправном D₁ и неисправном D₂ состояниях объекта. Будем считать, что параметры рассеяния σ функций f(k /D₁) и f(k/D₂) одинаковы и выполняется условие:

σ₁ = σ₂ = σ.

В этом случае плотности распределений условной вероятности показателя k будут иметь следующий стандартный вид:

_{2 2}

f(k/D₁) = 1/(σ )·е^{-(k – k1) /(2σ)};

_{2 2}

f(k/D₂) = 1/(σ )·е^{-(k – k2) /(2σ)}.

Подставим данные выражения в правило решения. После преобразований получим выражение для определения значения параметра минимального риска k_min:

k_min = 0,5 ·(k₂ – k₁) – σ²/(k₂ – k₁)·[ln(Р₂/Р₁) - ln(С₁₂/C₂₁)].

При k < k_min принимаем решение о том, что k D_1. При k > k_min принимаем решение о том, что k D_2.

Дата добавления: 2014-01-15