Тема: модели системы и моделирование

Вопросы:

1. отношение между моделью и реальностью

2. основы моделирования

3. классификация моделей

4. оценка адекватности модели.

5.1. Отношение между моделью и реальностью

Def: модель – (латинское мера, образец) некий объект, который в определенных условиях заменяет объект – оригинал, воспроизводя интересующие нас свойства и характеристики, имея при этом существенное преимущество использования (наглядность, обозримость, доступность испытаний т.д.)

Модели являются заменителями оригинала, благодаря подобию оригинала. Существует 3 вида подобия между моделью и реальностью:

1. Прямое подобие, которое устанавливается путем физического взаимодействия;

2. Непрямое (косвенное) подобие, которое устанавливается через аналогию, т.е. через общую абстрактную модель.

Аналогия

3. Условные подобия, которые устанавливаются путем определенных договоренностей.

Модели 1 – го вида – в большинстве это масштабирование или в оригинальный размер выполненная копия оригинала.

Модель 2- го типа устанавливается не в результате их физического взаимодействия, а объективно проявляется в совпадении или достаточной близости их абстрактных моделей:

1) ¨

2) Закон Кирхгофа для электрической сети и транспортной, а также в информационных сетях связи.

Модель 3 – го типа является способом внедрения абстрактных моделей, формой, в которой абстрактные модели могут передаваться.

Каждая модель в чем-то правильно отражает оригинал, а степень истинности определяется непосредственным сравнением оригинала и модели.

Т.к. модель является образом реальности, то между ними существует определенное отношение вида

Возникает очень важный вопрос: " при каком отношении f модель становится полностью адекватной реальности?". Для этого рассмотрим 2 множества А и В. Пусть между ними существует изоморфизм, т.е. взаимно-однозначное соответствие между элементами этих множеств, где каждому элементу a є А ставится в соответствие один и только один элемент в є В.

Докажем следующее утверждение. Если между элементами множества А существует некоторое отношение y и множество А изоморфно множеству В, то между элементами множества В также существует некоторое отношение a.

Данное утверждение можно отобразить следующим образом:

где: а,а₁ є А в,в₁ є В.

Существование такого отношения a покажем следующим образом:

Следовательно, если в качестве , то утверждение будет доказано.

Исходя из этого утверждения, можно сделать важный вывод: поведение множеств, между которыми существует изоморфизм, полностью адекватно.

Возвращаясь теперь к нашему важному вопросу, мы можем сказать, что модель может быть в принципе адекватна реальности, если f - изоморфизм. Однако, это скорее всего некий идеальный вариант. В действительности отношение f играет роль гомоморфизма.

Рассмотрим эту ситуацию на примере некоторых систем S₁ и S₂, между которыми существует некоторый гомоморфизм f₁₂. Каждая система имеет свою модель, характеризующую свою систему.

Требуется определить существование некоторого отношения f между моделями.

Графически это можно представить в таком виде:

Каким условием должно удовлетворять отношение f, если оно существует?

С одной стороны,

С другой стороны, если существует отношение f, связывающее М₄ и М₃, то оно должно удовлетворять следующему условию

Следовательно, f должно удовлетворять равенству

Данное утверждение и равенство позволяет сделать вывод о наличии модели моделей с иерархией моделей, тем самым способствуя совершенствованию системы моделирования.

5.2. Основы моделирования

Моделирование – это исследование каких-либо процессов, явлений, систем путем построения и изучения их моделей; использование модели для определения или уточнения характеристик и рационализации способов построения вновь создаваемых объектов.

С другой стороны, моделирование – это итерационный процесс, во время которого представление о модели постоянно меняется и корректируется, возможно, вплоть до смены первичных представлений.

Цель моделирования определяет какие свойства оригинала, в какой мере и с какой точностью должны быть отражены в модели. Существуют следующие основные принципы моделирования:

1) Принцип информационной достаточности:

При полном отсутствии информации о системе построение модели невозможно, а при полной информации о системе нет необходимости в построении модели; во всех промежуточных ситуациях исследователь должен оперировать с моделью системы, уровень адекватности которой определяется некоторым критическим уровнем.

2) Принцип осуществимости: модель должна обеспечить достижение поставленной цели с практической достоверностью и за фиксированное время.

3) Принцип множественности моделей: сложность объекта не позволяет построить одну адекватную модель системы (этих моделей должно быть несколько).

4) Принцип параметризации: для основных свойств системы, используемых на практике, необходимо формировать скалярные или векторные параметры, т.е. вводить количественные показатели.

Основной проблемой моделирования есть достижение оптимального компромисса между адекватностью модели и ее простотой.

С увеличением сложности модели увеличивается степень ее достоверности; однако, вместе с этим уменьшается время получения результатов и возможности их практической реализации.

С упрощением модели улучшаются ее характеристики во времени, однако при этом могут быть опущены существенные аспекты функционирования системы и модель станет непригодной для использования вследствие потери адекватности.

Определение компромисса существенным образом зависит от опыта и знаний ЛПР (лица принимающего решение). Как свидетельствуют результаты исследований (правило " 80 на 20 ") в правильно сконструированной модели 20% переменных на 80% определяют функционирование модели, а 80% переменных – всего лишь на 20%.

При всей полезности идеи оптимальности при моделировании, следует относиться к ней очень осторожно, что связано со следующим:

1. Оптимальное решение во многих случаях выявляется очень неустойчивым, а именно, незначительные на первый взгляд изменения в условиях задачи могут привести к выбору существенно разных альтернатив; в результате в последнее время в теории оптимизации модифицируют понятие оптимальности таким образом, чтобы полученные решения были в определенном смысле устойчивыми.

2. Оптимизация всегда опирается на предположение, что имеющиеся в наличии критерии с достаточной точностью отображают цель. Даже если это не так, то система, которая рассматривается, есть часть подсистемы и получение локально оптимального решения может быть совсем не оптимальным с точки зрения "надсистемы", что приводит к необходимости координировать критерии подсистемы с критериями системы.

3. Определение максимального значения критерия качества не может отождествляться с целью, потому что цель и критерий находятся в таком же отношении как оригинал и модель. Поэтому, когда появляются сложности с количественным описанием цели (а в сложных системах это абсолютное большинство случаев), количественные критерии есть всего лишь суррогат цели. Следовательно, количественные критерии в большинстве случаев относительно сложных систем лишь косвенно или приближенно описывают цель.

4. Одним из самых важных аспектов оптимизации есть адекватное описание ограничений. Даже незначительные изменения в значениях параметров ограничений могут существенно влиять на положение оптимального решения.

С одной стороны, не учтя всех существенных ограничений, максимизировавши значения критерия, мы можем получить крайне нежелательные последствия.

Если же ограничения будут слишком "жесткие", то область допустимых решений может оказаться пустой.

5.3. Классификация моделей

Классификация тоже представляет собой абстрактную модель разнообразия реальности. Основанием для классификации моделей является цель моделирования. Целевая ориентация модели позволяет классифицировать их по типам целей, по способам воспроизведения (реализации), по этапам жизненного цикла.

1. По типам целей различают модели

познавательные

прагматические

2. По протяженности во времени

статические

динамические

3. По способам реализации моделей

идеальные (абстрактные)

материальные (реальные, вещественные)

4. По степени определенности

детерминированные

стохастические

модели с неопределенностями

5. По области изменения значений параметров

непрерывные

дискретные

непрерывно-дискретные

6. По способу описания и оценивания

дескриптивные

нормативные

7. По природе модели

Предметные

природные модели

искусственные модели

натурные

аналоговые

Знаковые

языковые модели

математические

аналитические

имитационные

8. По масштабу времени

модели реального времени

модели переменного масштаба времени

Рассмотрим в качестве примера самые важные модели по уровню иерархии в классификации моделей.

Это познавательные и прагматические модели.

Познавательные модели – форма реализации и представления знаний, "средство соединения знаний" с имеющимися уже знаниями. Примером познавательных моделей являются по существу все научные теории, которые развиваются и совершенствуются по мере выявления несоответствия старых моделей новым реалиям, т.е. схема взаимодействия модели и реальности будет выглядеть как

Прагматические модели – средство управления практическими действиями, рабочее представление целей, носит нормативный характер. Мы подгоняем реальность под модель. Схематично это выглядит так

Рассмотрим для примера процесс построения познавательных и прагматических моделей при создании "теории счастья".

Сформулируем следующие аксиомы:

1) Каждый человек в процессе своей жизни наблюдает окружающую его реальность и имеет свое представление (модель) желаемого состояния этой реальности, т.е. идеал. Это может быть идеал хорошей жизни, уровня культуры, работа, отдых и т.д.

2) "Счастьем" будем считать состояние человека, при котором реальность и идеал совпадают, а за меру "счастливости" будем принимать меру совпадения реальности и идеала; чем больше совпадение, тем счастливее человек.

3) Каждому человеку свойственно природное стремление к повышению меры своей "счастливости".

На базе этих 3–х аксиом можно сформулировать различные способы повышения "счастливости", используя познавательные и прагматические модели.

1-й способ заключается в том, что человек создает прагматическую модель идеала и стремится приблизить к этому идеалу реальность, т.е. работает схема

В зависимости от модели идеала и способа его достижения различают следующие категории людей, которые стремятся его достичь: революционеры, реформаторы, просветители, нарушители законов, нормальные "среднестатистические" граждане.

2-й способ "осчастливить себя" заключается в понижении уровня идеала, стремлении приблизить идеал к реальности согласно следующей схеме

В этом случае модель идеала носит познавательный характер и спектр людей, реализующих этот процесс, простирается от приспособленцев (конформистов) до циников. Среди них могут быть и "нормальные" люди, которые отказались от несбыточных идеалов.

3-й способ "добычи счастья" заключается в подмене реальности ее иллюзией (при этом реальность =идеалу). Эта модель носит прагматический характер. К этой категории людей относят алкоголиков, наркоманов, поклонников "псевдомассовой культуры".

Рисунки из книги Ашерова А.Т. и др. Введение в специальность инженера-педагога компьютерного профиля.

Примеры моделей см. в книге О.Г.Стариша Системология

В заключении остановимся на наиболее типичных моделях сложных систем, к которым относятся следующие формальные модели высокого уровня абстракции:

1) модель типа "черный ящик"

2) модель типа "состав системы "

3) модель типа "структура системы "

4) модель типа "белый ящик"

1) Модель типа "черный ящик" имеет следующее графическое изображение

Компонентами модели являются: границы модели, среда, входы, выходы. Построение этих моделей сводится к описанию (составлению перечня) входов и выходов системы. Однако, кажущаяся простота модели на практике оборачивается значительными трудностями. Число отношений реальной системы с внешней средой очень велико. При исследовании системы исследователь выбирает только некоторое число входов и выходов. Критерием отбора служит целевое назначение системы. Исключая ряд факторов среды можно допустить ошибку в модели, что приведет к непредсказуемым последствиям в работе системы. Пример, забыв включить в число выходов "отходы деятельности", сложилась ситуация, которая привела к неблагоприятной экологической обстановке.

Модели типа "черный ящик" особенно актуальны, когда не допускается вмешательство в систему и единственной возможностью является анализ входов и выходов.

2) Модель типа "состав системы" имеет следующие составные части: элемент, подсистемы разных уровней. Например, человек (специалист) есть элемент организации. Однако, как система человек состоит из подсистем, каждая подсистема состоит из чего-то и т.д. Здесь главной проблемой является определение границы модели.

3) Модель типа "структура системы". Структура может быть представлена в матричной форме, теоретико-множественном виде.

4) Модель типа "белый ящик" представляет собой полностью определенную систему с параметрами. Она также представляет собой объединение 3-х ранее перечисленных моделей.

5.4. Оценка адекватности модели

Def: адекватностью модели называют свойство модели, заключающееся в способности модели воспроизводить с необходимой полнотой те свойства качества объекта, которые существенны для целей данного исследования.

Достаточно представительной моделью оператора преобразования входов системы в выходы является уравнение множественной регрессии, записываемого для каждого i –го выхода. В качестве меры рассогласования выходов системы и модели выбирается остаточная дисперсия

n- объем выборки;

l- число параметров в функции (например, параметров в уравне-

нии множественной регрессии);

y_i – i- е значение выхода системы;

- i-е значение выхода, определяемого моделью (например, уравнением

регрессии).

Например, если , то

Усложним модель регрессии, взявши . тогда получаем

.

Проверим статистическую гипотезу о том, что мера адекватности второй модели D₂ не стала меньше, чем была мера адекватности первой модели D₁. Для проверки этой гипотезы используется критерий Фишера

Критическая точка F_kp для построения критерия определяется по таблице F - распределения (Фишера) для заданного уровня значимости a (например, a=0,005) и степеней свободы s₁ =n-2 и s₂ =n-3.

Если F<=F_kp, то гипотеза принимается и делается вывод: 2-я модель не понизила меру рассогласования (т.е. не повысила меру адекватности) и в качестве адекватной модели выбирается 1-я модель.

Если же F>F_kp, то гипотеза отвергается и 2-я модель понизила меру рассогласования. Вывод: 1-я модель отвергается и выбирается 2-я модель как адекватная.

После этого рекомендуется рассмотреть фунцции , , … модели по аналогичной методике до тех пор, пока дальнейшее усложнение модели не приведет к повышению меры адекватности. На этом заканчивается этап построения математической модели. Однако, если есть другие модели M₁,...,M_k, то по аналогичной методике сравниваются их меры адекватности.

Вопросы для самоконтроля:

1. Какие существуют виды подобия между моделью и реальностью?

2. Приведите примеры моделей 2-го типа.

3. Дайте определение модели.

4. Какое основное отношение существует между моделью и реальностью?

5. При каком условии модель становится полностью адекватной реальности? Приведите доказательство этого утверждения.

6. Покажите при каких условиях существует гомоморфизм между моделями систем, которые связаны между собой некоторым отношением?

7. Что собой представляет процесс моделирования?

8. Какие существуют в настоящее время требования к оптимизации для исследования сложных систем?

9. Сколько существует основных типов классификации моделей?

10. Приведите пример прагматической модели для системы деканат.

11. Дайте описание модели типа "черный ящик" и укажите в каких типичных случаях она используется?

12. Что такое адекватность модели?

13. Что выбирается в основном в качестве меры рассогласования между входом и выходом системы?

14. Какой критерий в основном используется для меры адекватности моделей?

15. Какой уровень значимости выбирается в критерии?

Литература к лекции №5:

1. Лямец В.И.,Тевяшев А.Д. Системный анализ. Учебное пособие.- 1998 г

Дата добавления: 2014-01-15