Інтегральна теорема Маувра-Лапласа

Інтегральна теорема Маувра-Лапласа

Нехай проводяться іспитів, в кожнім з яких ймовірність появи події стала і дорівнює . Як розрахувати ймовірність того, що подія з’явиться в іспитах не менше і не більше разів. Відповідь на це питання дає інтегральна теорема Маувра-Лапласа.

Якщо ймовірність появи події в кожнім іспиті стала і відмінна від нуля і одиниці, то ймовірність того, що подія з’явиться в іспитах від до разів, приблизно дорівнює визначеному інтегралу

,

де , .

При розв’язанні задач на застосування інтегральної теореми Муавра-Лапласа, використовують спеціальні таблиці. В таблицях дані значення функції для додатних значень і для . Для користуються тією ж таблицею. – функція непарна.

В таблиці наведені значення інтеграла до , оскільки для можна прийняти . носить назву функції Лапласа.

Формула для застосування інтегральної теореми Муавра-Лапласа отримується наступним чином:

,

де , .

Приклад 7. Знайти ймовірність того, що з народжених буде від до хлопчиків, якщо ймовірність народження хлопчика дорівнює .

Розв’язання. Спочатку обчислимо значення і при , , , і .

;

.

;

.

Приклад 8. Було посаджено дерев. Знайти ймовірність того, що число дерев, що приживуться більше , якщо ймовірність, що окреме дерево приживеться, дорівнює .

Розв’язання. Застосувавши інтегральну теорему Лапласа отримаємо

; .

Оскільки і по абсолютній величині більше , то

; .

Тоді .

3*. Асимптотична формула Пуассона. Закон Пуассона розподілу ймовірностей рідкісних подій

Якщо ймовірність події в серії незалежних дослідів стала і дорівнює , то ймовірність того, що подія відбудеться разів обчислюється за формулою Бернуллі (1), а якщо велике число, то за асимптотичною формулою теореми Муавра-Лапласа (2). Але якщо – мале число, тобто маємо справу з рідкісними подіями, а – число велике (взагалі ), то формула (1), дає велику похибку. В цьому випадку ймовірність обчислюється за так званою асимптотичною формулою Пуассона.

Зробимо при виведенні формули Пуассона одне допущення, а саме будемо вважати, що добуток зберігає стале значення, тобто .

Скористаємося при виведенні формули Пуассона формулою Бернуллі:

або

Оскільки , то . Отже:

Оскільки дуже велике, то будемо шукати . При цьому слід замітити, що буде знайдене лише наближене значення ймовірності, в зв’язку з тим, що хоча і велике, але скінчене число. Оскільки зберігає стале значення, то при , маємо

.

Отже, формула Пуассона

. (3)

Вона відображує закон розподілу масових (велике) і рідкісних (мале) подій.

Якщо у формулі (3) приймає цілі значення від до , то одержимо закон Пуассона розподілу ймовірностей рідкісних подій, який можна записати у вигляді таблиці:

Для обчислення ймовірностей за формулою (3) також є таблиці. Формула (3) є достатньо точною починаючи з .

Приклад 9. В коробці лежать резисторів, десять з яких непридатні. Обчислити ймовірність того, що серед взятих навмання резисторів три з них будуть непридатними.

Розв’язання. За класичною формулою обчислюємо , , тоді , . За формулою (3) маємо,

.

Приклад 10. Комутатор установи обслуговує абонентів. Ймовірність того, що на протязі хв. Абонент подзвонить на комутатор, дорівнює . Яка з двох подій ймовірніше: на протязі хв. подзвонить абоненти або подзвонить абоненти.

Дата добавления: 2014-01-11