Математическое описание систем АУ

Лекция 2

Уравнения, описывающие зависимость координат объекта и всех элементов системы от входных воздействий, а также структурная схема системы, составляют математическую модель системы.

Уравнения могут быть алгебраическими, трансцендентными, дифференциальными, интегральными, конечно-разностными и т.д. В общем случае уравнение можно записать в виде:

или - вектор координат объекта

- управляющее воздействие;

- возмущающее воздействие.

Данное уравнение, связывающее координаты объекта, а также их производные и воздействия называют уравнением динамики.

Если все производные равны нулю, то уравнение превращается в уравнение статики (описывают либо безынерционные объекты, либо инерционные в установившемся состоянии при постоянных входных воздействиях)

Уравнение статики связывает только текущие координаты и воздействия.

Если функция F линейная, то и система называется линейной.

Анализ и синтез линейных систем значительно проще нелинейных, но большинство объектов являются нелинейными, для них функция F- нелинейная. В ряде случаев при малых изменениях входных воздействий координат функцию F можно линеаризовать и объект рассматривать как линейный.

Системы могут быть одномерными (элементы системы зависят от одного воздействия и имеют одну выходную координату) и многомерными или многосвязными (элементы таких систем имеют несколько выходных координат, зависящих от нескольких входных воздействий).

Если коэффициенты в уравнениях постоянны во времени – объекты и системы – стационарные, если коэффициенты изменяются со временем – элементы и системы нестационарные.

В теории управления при анализе и синтезе систем управления их условно разделяют на отдельные участки – звенья.

Звено представляет собой отдельный участок, узел, блок и т.д., физически выделяемый или не выделяемый из системы, который выполняет определенную функцию и описывается простейшим уравнением.

Звенья также могут быть как безинерционными (усилительное или пропорциональное, дифференциальное) так и инерционными.

Обычно звено имеет один вход и один выход.

В общем случае, для линейных звеньев уравнения, связывающие вход с выходом (уравнения состояния), можно записать как:

Если использовать оператор дифференцирования

то уравнение можно записать в операторной форме:

(a_npⁿ+a_n-1p^n-1+…a₀p⁰) y(t)=(b_mp^m+…b₀)x(t),

причем, умножение функции на pⁱ имеет смысл дифференцирования этой функции i раз, p⁰=1; n – определяет порядок ДУ; A_n(p)= a_npⁿ+a_n-1p^n-1+…a₀p⁰, B_m(p)= =b_mp^m+…b₀- многочлены (полиномы) n-ой и m- ой степени от p.

В более компактной форме дифференциальное уравнение имеет вид:

A_n(p)y(t)= B_m(p)x(t).

Дата добавления: 2014-01-15