Основные понятия. Устойчивость элементов и систем автоматического управления

Устойчивость элементов и систем автоматического управления.

Устойчивость – это одно из основных свойств объектов и систем, которые существенным образом влияют на их поведение и изменение координат во времени. Основы теории устойчивости были заложены русским математиком А.Мю Ляпуновым и его школой применительно к движению объектов и систем.

Поведение или движение системы при отсутствии возмущений называется невозмущенным.

Реальное движение обычно происходит под воздействием неуправляемых различных факторов (возмущений), а также некоторого управляющего или управляющих воздействий. Такое движение называют возмущенным.

Обозначая координаты невозмущенного движения через

y_i^*(t) i=1,….n,

а возмущенного

y_i(t) i=1,….n

Введем такое понятие как отклонение:

x_i(t)= y_i(t)- y_i^*(t)-отклонение координаты в

возмущенном движении от невозмущенного.

Рассматриваются такие возмущения, которые действуют только в начальный момент времени и исчезают при t≠0, тогда отклонения x_i(0) фактически являются возмущением (рассматривается устойчивость по начальным условиям)

Теорема Ляпунова:

Невозмущенное движение называют устойчивым по отношению к переменным

x_i(0), если при всяком произвольно заданном положительном числе ε каким бы оно малым не было, можно найти такое положительное число δ, что при всяких возмущениях x_i(0), для которых

выполняется условие при любом t

(если при уменьшении возмущений по модулю отклонения по модулю также уменьшаются, до сколь угодной малой величины – невозмущенной движение будет устойчивым.)

Если при увеличении t до ∞ отклонение стремиться к 0 движение называют асимптотически устойчивым, если Теорема Ляпунова не выполняется, движение считается неустойчивым.

Дата добавления: 2014-01-15