Поняття функції та відображення

Поняття функції або відображення також є одним з центральних в математиці. В математичному аналізі прийнято наступне означення функції. Нехай задано множини і . Змінна називається функцією від змінної , якщо за деяким правилом кожному значенню відповідає одне значення .

Розглянемо інше означення функції, яке є окремим випадком відношення між множинами. Функціональне відношення або функцію за традицією будемо позначати .

Означення. Функцією називається бінарне відношення між множиною і множиною таке, що для кожного елемента існує один і тільки один елемент , відповідний елементу . Цей елемент називається значенням функції для елемента і позначається .

Інакше кажучи, функцією називається бінарне відношення, яке не містить двох пар з однаковими першими компонентами і різними другими.

Приклад. 1) – функція;

2) – функція;

3) , де – функція;

4) – відношення, але не функція.

Функціональне відношення зручно позначати ще так: або (операторна форма запису).

Як і для звичайного відношення, для функціонального відношення множина називається множиною відправлення, множина – множиною прибуття. Множина пар називається графіком функції .

Множина називається областю визначення функції ; множина називається областю значень функції .

Приклад. Для попереднього прикладу:

1) , ;

2) ;

3) .

Відзначимо, що для будь-якої функції справедливе .

Таким чином, символ використовується при означенні функції у двох розуміннях:1) – множина, елементами якої є пари , між якими існує функціональне відношення;2) – позначення для елемента , що відповідає даному елементу .

Означення. Функції і називаються рівними, якщо їхні області визначення збігаються і для кожного .

Для функцій широко застосовується геометрична термінологія. Функцію називають відображенняммножини в множину , елемент називається образом при відображенні . Якщо , то будь-який , для якого , називається прообразом елемента . Сукупність всіх прообразів елемента називається повним прообразом елемента і позначається : . Ясно, що є підмножиною (можливо, порожньою) множини .

Аналогічно визначаються образ множини і прообраз множини :

;

Зокрема,

.

В

Приклад. Коло радіуса 1 з центром у точці (3;2), тобто множина задає відношення між і (віссю і віссю ). Образом числа 4 є число 2. Образом відрізка є відрізок . Відрізок є прообразом числа 2. Це відношення не є функціональним. Прикладом функціонального відношення між дійсними числами на цьому ж малюнку може служити дуга . Означення. Якщо область визначення функції збігається з множиною , тобто , то функція називається повною функцією, всюди або цілком визначеною функцією. При цьому кожному елементу множини відповідає не більш ніж один однозначно визначений елемент множини . Функція, яка не є повною, називається частковою (або не всюди визначеною, не цілком визначеною функцією).

Приклад:

Функція – всюди визначена.

– не всюди визначена.

Означення. Відображення на називається перетворенням множини .

Ми часто будемо користуватися фразами типу "відображає в ", навіть коли не є відображенням. Оскільки функції є бінарними відношеннями, то можна знаходити обернені функції і застосовувати операцію композиції.

Означення. Якщо відношення, обернене до функції , є функціональним, то воно називається функцією, оберненою до і позначається .

Оскільки в оберненому відношенні образи і прообрази міняються місцями, то обернена функція може не існувати.

Приклади:

1. Функція відображає відрізок на відрізок . На відрізку для неї існує обернена функція .

2. На множині функція не має оберненої, оскільки .

Означення. Нехай задані функції і . Функція називається композицією функцій і , якщо має місце рівність . Часто кажуть, що функція отримана підстановкою в .

В математичному аналізі означення композиції двох функціональних відношень відповідає означенню складеної функції ..

В математичному аналізі розглядалися елементарні функції – композиції скінченного числа арифметичних функцій і основних елементарних функцій: степеневих, показникових, логарифмічних, тригонометричних.

Наприклад, функція є елементарною, тому що вона є композицією функцій , , , , , ,

Означення. Вираз, що описує композицію функцій і містить функціональні знаки і символи аргументів, називається формулою.

Дата добавления: 2014-01-11