Определение множества целых чисел

Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью (в общем случае) вычесть из одного натурального числа другое.

Определение 1. Рассмотрим множество натуральных чисел , с операциями сложения и умножения . Определим нулевой элемент 0 так, чтобы для всех . Для каждого определим противоположный элемент такой, что . Множество будем называть множеством целых чисел и обозначать .

Целые числа являются кольцом относительно операций сложения и умножения.

Напомним, что кольцом называется множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами:

1) – коммутативность сложения;

2) - ассоциативность сложения;

3) – существование нейтрального элемента относительно сложения;

4) – существование обратного элемента относительно сложения;

5) и – дистрибутивность умножения относительно сложения.

Рассмотрим множество упорядоченных пар натуральных чисел . Введём на этом множестве бинарное отношение :

.

Введенное отношение является отношением эквивалентности, так как:

1) отношение рефлексивно: , так как ;

2) отношение симметрично: пусть , тогда , следовательно, ;

3) отношение транзитивно: пусть и , тогда и , следовательно, и

Дата добавления: 2014-01-20