Рента пренумерандо

БУДУЩАЯ СУММА ПРЕНУМЕРАНДО И ПОСТНУМЕРАНДО БЕЗ ПЕРВОНАЧАЛЬНОЙ СУММЫ

Пусть одинаковые платежи размером С (cost – стоимость) осуществляются пренумерандо в течение n периодов. На них нарастают проценты по номинальной (ежегодной) процентной ставке r. Сначала рассмотрим С по абсолютной величине.

В начале первого периода осуществлен взнос С. К концу периода на него нарастут проценты, и будущая сумма составит

FV₁ = С·(1 + r).

В начале второго периода внесена сумма С, а к концу второго периода на нее и на FV₁опять нарастут проценты

FV₂=С·(1+r)+С·(1+r)².

К концу третьего периода

FV₃ = С·(1+r)+С·(1+r)²+С·(1+r)³ и т. д.

К концу n-ого периода будущая сумма составит

FV_n = С· (1+r)+С· (1+r)²+... +С· (1+r)ⁿ = С· (1+r) ·.

Нетрудно видеть, что это сумма геометрической прогрессии с общим членом

= ₁·q^{n -1}, где ₁=С· (1+r), a q=1+r.

Как известно из школьного курса [7], сумма такой геометрической прогрессии

S_n=.

Таким образом, получаем

FV_n=.

Если взносы осуществляются m раз в году в течение k лет, то число периодов сделки n=k·m, а процентная ставка за период составляет r/m. В этом случае

FV=. (2.1)

Дата добавления: 2014-01-20