Введение в теорию нелинейных САУ

Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой систем необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы (годограф векторной функции W(jw)) НЕ охватывала точку с координатами -1+j0.

Критерий Найквиста

Пусть W0(w)= U(w)+jV(w) - передаточная функция разомкнутой системы автоматического регулирования. Разомкнутую систему полагаем устойчивой.

При замыкании выходной сигнал САР x(t) вычитается из входного g(t),образуя разность e(t)=g(t)-x(t).

Критерий Найквиста формулируется следующим образом:

Годограф симметричен относительно мнимой оси (U(w) - четная) поэтому все сказанное верно и для w<0.

Если САР астатическая, т.е. имеет интегрирующие звенья, то в разомкнутом состоянии она нейтральна, т.е. с течением времени не стремится к какому-то определенному положению (угол поворота оси двигателя остается произвольным при отсутствии напряжения на его входе). Сформулированный критерий справедлив и для этого случая, если вспомнить (см. Файл LINKS.DOC), что идеальное интегрирующее звено может быть получено из апериодического предельным переходом. При этом к годографу Найквиста надо добавить дугу окружности бесконечного радиуса (Рис.6).

Физический смысл совершенно очевиден: среди всех частот от w=0 до w=¥ не должно быть ни одной частоты w₀, которая при замыкании САР поступит на вход усиленной по амплитуде (и с фазовым сдвигом 180 градусов (j₀(w)= p и точка -1+j0).

При 180-градусном сдвиге обратная связь на частоте w₀ превращается из отрицательной в положительную. Если к тому же модуль , то создаются условия для возбуждении колебаний на этой частоте.

Достоинством критерия Найквиста заключается в том, что для определения устойчивости САР можно использовать экспериментально полученные амплитудно-фазовые характеристики. Это ценно в случае, когда ввиду сложности системы или ее звена получить соответствующее дифференциальное уравнение не представляется возможным.

Из критерия Найквиста следует метод логарифмических частотных характеристик, который в ряде случаев позволяет оценить устойчивость и САР, качество регулирования и синтезировать корректиреющие звенья почти без вычислительной работы.

В случае многоконтурной САР ее размыкание для получения передаточной функции разомкнутой системы может быть сделано в произвольном месте. Если, однако, с системе имеется один вход и один выход, то при размыкании системы на входе первого звена получим главную передаточную функцию разомкнутой системы, связывающую входной и выходной сигналы. Именно эта передаточная функция рассматривается при определении качества регулирования и при синтезе корректирующих звеньев.

Годограф устойчивой в замкнутом состоянии САР позволяет оценивать и качество регулирования по запасам устойчивости по фазе и по усилению.

Запасом устойчивости по амплитуде (усилению) - это расстояние между критической точкой (-1,j0) и ближайшей к ней точкой пересечения годографа с отрицательной полуосью абсцисс. Для хорошо демпфированных систем этот запас более 6 дБ [4,5].

Запас устойчивости по фазе (m₀ ) - это угол между вектором W(jw_c) (w_c - частота среза, ½W(jw_с)½=1) и отрицательной полуосью абсцисс.

Его определяют как угол m₀=180-j₀(w_с) градусов. В хорошо демпфированных системах этот угол лежит в пределах 30-60 градусов. Если на частоте среза фазовый сдвиг меньше 180 градусов, то говорят об избытке фазы [5]. В соответствии с заданными запасами устойчивости можно определить запретную область, которую не должен пересекать годограф.

Для условно устойчивых САУ запас устойчивость по модулю определяется с двух сторон - запас при увеличении и запас при уменьшении усиления.

В соответствии с критерием Найквиста фазовый сдвиг при частоте среза не должен быть равен 180 градусам. Если (w_c)>-p/2 (например, (w_c)= -120 градусов), то говорят, что система имеет избыток фазы. Избыток фазы означает, что система допускает появление некоторого дополнительного запаздывания без потери устойчивости. Анализ ЛАЧХ и ЛФЧХ позволяет судить об устойчивости САР, запасах устойчивости, а так же, как это будет показано позже, синтезировать корректирующие звенья для улучшения качества регулирования.

(по Попову “Динамика...”, стр. 92)

Лнейные САУ могут быть устойчивыми или неустойчивыми при любых начальных условиях (практически САУ находящаяся на границе устойчивости - неустойчива).

Устойчивость определяется знаком вещественной части корней характеристического уравнения.

В нелинейных системах

- сам факт затухания или расхождения процесса зависит не только от параметров системы, но и от начальных условий;

- затухание процесса может происходить не до нуля, а расхождение не до бесконечности, при этом может изменяться общий характер протекающего в системе процесса (например, чстота свобдных колебаний, колебательный процесс может превратиться в апериодический и наоборот и т.п.);

- может иметь место неоднозначность установившегося состояния даже при отсутствии внешних воздействий.

Поэтому при анализе устойчивости нелинейной САУ необходим оговаривать

- относительно какого устойчивого состояния исследуется устойчивость системы (равновесного или периодического и какого именно);

- ограничения на рассматриваемые при анализе начальные условия.

Дата добавления: 2014-01-20