Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Критерий Эйзенштейна




Теорема 2.11 (Критерий Эйзенштейна) Пусть f (x) многочлен над кольцом целых чисел. Если существует простое число p, что

I. Все коэффициенты многочлена f (x), кроме старшего, делятся на p

II. Старший коэффициент не делится на p

III. Свободный член не делится на

Тогда многочлен f (x) неприводим над полем рациональных чисел.

Доказательство проведём методом от противного. Допустим многочлен h(x) удовлетворяет условиям теоремы и тем не менее представим в виде произведения двух многочленов f(x)g(x). Естественно, все многочлены с целыми коэффициентами. Поскольку , то либо делится на p, либо делится на p (оба сразу делиться не могут, из-за условия III). Пусть, для определённости делится на p, а не делится на p. Из равенства , делимости и на p, и не делимости на p, выводим делимость на p. Продолжив рассуждения, придём к тому, что все коэффициенты f(x) делятся на p, что противоречит условию I.

Следует отметить, что критерий Эйзенштейна даёт достаточные условия неприводимости многочленов, но не необходимые. Так многочлен является неприводимым над полем рациональных чисел, но не удовлетворяет критерию Эйзенштейна.

Следствие 2.3 Над полем рациональных чисел найдётся неприводимый многочлен степени n, где n любое натуральное число больше 1.

Действительно, многочлен , по критерию Эйзенштейна, является неприводимым.

Следствие 2.4 Для простого n многочлен неприводим над полем рациональных чисел.

Доказательство. Разложим многочлен по степеням x-1 . Многочлен удовлетворяет критерию Эйзенштейна, и, значит, является неприводимым. Но тогда неприводим и многочлен .




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 2965; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.