КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Линейные пространства
Определение 7.1Множество V называется линейным пространством над числовым полем P, если определены две операции 1. сложения элементов из V (+) 2. умножения элемента из V на элемент из P (*) Эти операции удовлетворяют аксиомам: 1. ассоциативность сложения, т.е. (x+y)+z=x+(y+z) 2. коммутативность сложения, т.е. x+y=y+x 3. существование 0, т.е. x+0=x 4. существование обратного x+y=0, обратный обозначают –x. 5. ассоциативность умножения . 6. Дистрибутивность 7. Дистрибутивность 8. умножение на 0 0x=0. (в правой части 0 – элемент из V) 9. умножение на 1; 1x=x Элементы линейного пространства называются векторами, а элементы числового поля P – скалярами. Примеры линейных пространств. 1. Множество непрерывных функций над R 2. Множество векторов пространства над R 3. Арифметическое пространство (множество наборов из n чисел из P) Определение 7.2Подмножество W линейного пространства V над полем P называется подпространством, если оно является пространством (в смысле выполняются все аксиомы) Теорема 7.1. Для того, что бы подмножество W линейного пространства V над числовым полем P являлось подпространством необходимо и достаточно выполнения двух условий: 1. 2. Примеры подпространств: 1. Множество многочленов образует подпространство в пространстве всех функций. 2. Множество решений системы линейных уравнений Ax=0 в арифметическом пространстве 3. Плоскость, прямая в пространстве векторов. 4. Линейная оболочка системы векторов (то есть множество всех линейных комбинаций векторов) Следствие 7.1. Пересечение линейных подпространств является подпространством Доказательство заключается в проверке выполнений условий Теорема 7.1. Определение 7.3 Суммой подпространств V+W называется множество векторов вида
Следствие 7.2 Сумма подпространств – подпространство. Доказательство заключается в проверке выполнений условий Теорема 7.1. Следствие 7.3 Сумма подпространств V+W – наименьшее подпространство, которое содержит как V так и W. Доказательство. Обозначим через F подпространство, являющееся пересечением всех подпространств содержащих подпространства V и W. Так как V+W содержит оба этих подпространства, то . Поскольку F содержит как V так и W, и является подпространством (Следствие 7.1), то сумма векторов x+y, где и , принадлежит F. Таким образом, установлено включение . Объединяя включения, получаем равенство V+W=F.
Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 320; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |