Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Конечномерные пространства. Базис. Размерность. Дополнение до базиса. Базис суммы, пересечения




Определение 7.9. Пространство называется конечномерным, если оно является линейной оболочкой конечной системы векторов.

Теорема 7.3. Подпространство конечномерного пространства – конечномерно.

Доказательство. Пусть V – конечномерное пространство, W – его подпространство. По определению, V представляется в виде линейной оболочки конечной системы векторов . Проведём доказательство теоремы индукцией по n. При n=1 утверждение очевидно, так как любое подпространство, содержащее не нулевой вектор, в этом случае, совпадает с V. Пусть утверждение доказано для n-1. Покажем его справедливость для n. Возьмём не нулевой вектор и запишем его в виде линейной комбинации . Не нарушая общности можно считать (иначе перенумеруем векторы ). Множество векторов образует подпространство в линейной оболочке и по предположению индукции это подпространство конечномерно. Пусть линейная оболочка векторов совпадает с . Поскольку векторы принадлежат W, то включение очевидно. Пусть - произвольный вектор W. Вектор принадлежит подпространству и , а значит, и их пересечению. Представим вектор в виде линейной комбинации векторов и выразим d (). Таким образом, установлено включение , из которого, в силу произвольности выбора d, выводим равенство , т.е. W - конечномерное подпространство.

Пусть V конечномерное пространство.

Определение 7.10. Минимальная полная система векторов из V называется базисом пространства. Число векторов в базисе называется размерностью пространства.

Размерность пространства V обозначают dimV.

Следствие 7.7 Размерность подпространства не превосходит размерности всего пространства. Если размерность подпространства совпадает с размерностью пространства, то подпространство совпадает с пространством.

Доказательство. Пусть W – подпространство конечномерного пространства V. Обозначим через базис V. Подпространство W - конечно мерно (Теорема 7.3) и, значит, имеет базис . По теореме о замене выполняется неравенство . В случае равенства из доказательства теоремы о замене вытекает совпадение линейных оболочек .

Определение 7.11. Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами.

Теорема 7.4. Координаты любого вектора существуют и единственны.

Доказательство. Поскольку базис полная система, то любой вектор пространства разложим по базису. Допустим вектор x имеет два различных разложения по базису и . Вычтем одно из другого, получим равенство . В силу линейной независимости базисных векторов, все коэффициенты при базисных векторах равны нулю, а, значит разложения совпадают.

Координаты вектора в базисе обозначим через .

Следствие 7.8. Справедливы равенства , , .

Доказательство очевидно.

Теорема 7.5. (дополнение до базиса)

Базис подпространства конечномерного пространства можно дополнить до базиса всего пространства..

Доказательство. Пусть W подпространство V. Обозначим через базис W а через - базис V. В системе удалим векторы, которые линейно выражаются через предыдущие вектора системы. Получившаяся система будет являться базой, а значит образует базис в пространстве V. Кроме того, векторы линейно независимы, и не могут линейно выражаться через предыдущие вектора системы, и значит, они содержатся в базисе. Фактически получается, что система векторов дополнилась некоторыми векторами из базиса V до базиса всего пространства.

Теорема 7.6 (размерность суммы) Пусть V,W – конечномерные подпространства. Тогда .

Доказательство. Обозначим через базис пространства . Дополним его до базиса пространства V векторами (т.е. - базис V) и до базиса W - векторами (т.е. - базис W). Легко убедиться, что совпадает с линейной оболочкой векторов . Далее, система векторов линейно независима. Действительно, если не так, то линейная комбинация этих векторов с не нулевыми коэффициентами равна нулю. Пусть . Из равенства выводим, что вектор y принадлежит V и W. Раз вектор y принадлежит пересечению , то все (в силу единственности координат), что противоречит линейной независимости системы . Таким образом, система векторов образует базис . Далее, имеем , , и . Для завершения доказательства осталось убедиться в справедливости равенства .




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 912; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.015 сек.