Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Свободные колебания в LC-контуре. Свободные затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение




ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Электромагнитными колебаниями называются переодические изменения во времени значений силы тока и напряжения в электрической цепи, а также обусловленные этим взаимосвязанные колебания электрического и магнитного полей, которые описывают соответственно векторы Е и Н. Наиболее распространенной электрической цепью, в которой возникают такие колебания, является электрический колебательный контур, содержащий последовательно соединенные конденсатор емкостью С, катушку индуктивностью L и резистор сопротивлением R, рис.1.

- С+ I=dq/dt

- +

φ2 φ1> φ2

R L

 

K Ec =- LdI/dt

I

Рис.1.

Если сопротивление R мало (R→0) электрический контур является идеальным ( LC – контур). При R≠0 часть электрической энергии будет расходоваться на нагревание проводников и будет наблюдаться затухание колебательных процессов.

Свободные колебания в LC-контуре. Колебания электрического тока в контуре можно вызвать, либо сообщив обкладкам конденсатора некоторый начальный заряд, либо возбудив в индуктивности ток. Воспользуемся первым способом. При разомкнутом ключе зарядим конденсатор. Между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле, энергия которого WC = q2/2C. После замыкания ключа К емкость начнет разряжаться и в контуре потечет электрический ток. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, зато возникнет и начнет увеличиваться энергия магнитного поля, обусловленного током, текущим через индуктивность. Энергия магнитного поля WL=LI2/2. Если R = 0, то в момент когда напряжение на конденсаторе, заряд, а следовательно и энергия WC обращаются в нуль, энергия магнитного поля, а следовательно и ток достигают наибольшего значения (начиная с этого момента ток течет за счет э.д.с. самоиндукции). В дальнейшем ток уменьшается и, когда заряды на обкладках конденсатора достигнут первоначального значения q (но противоположных знаков), сила тока станет равной нулю. После этого те же процессы начнут протекать в обратном направлении, контур вернется в исходное состояние и весь цикл повторится снова и снова. Колебания электрического тока (заряда, напряжения) сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей.

Будем обходить контур против часовой стрелки. При возрастании значения заряда на положительно заряженной обкладке конденсатора сила тока

I = dq/dt. (1)

 

Для расчета электрической цепи запишем закон Ома

IR = φ1 – φ2 + EC. (2)

Поскольку разность потенциалов между обкладками φ1 – φ2 =q/C, а э.д.с. самоиндукции Ec =- LdI/dt, то равенство (2) можно переписать в виде дифференциального уравнения второго порядка по отношению к заряду q=q(t):

Ld2q/dt2 +Rdq/dt + q/C = 0. (3)

Если учесть, что R = 0, ииспользовать стандартные обозначения для собственной частоты ω0 гармонических колебаний:

ω0 = 1/√LC, (4)

то уравнение (3) примет вид

d2q/dt2 + ω02q = 0. (3а)

Решением уравнения (3а) является функция

 

q = qmcos(ω0t + α). (5)

Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой ω0 = 1/√LC, которая называется собственной частотой контура, она соответствует собственной частоте гармонического осциллятора.

Из (4) получаем выражение для периода колебаний (формула Томсона):

T = 2π√(LC). (6)

Используя известную формулу q = UC и (5), запишем выражение для напряжения на конденсаторе:

U = (1/C)qmcos(ω0t + α) = Um cos(ω0t + α). (7)

Продифференцировав функцию (5) по времени, получим выражение для силы тока в контуре:

I = - ω0qm sin(ω0t + α) = Im cos(ω0t + α + π/2). (8)

Из (8) видно, что сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе на π/2. Сопоставление формул (5), (7) и (8) показывает, что в момент, когда ток достигает наибольшего значения, заряд и напряжение обращаются в нуль, и наоборот, как мы уже это установили ранее, основываясь на энергетических соображениях.

Um=qm/C, Im = ω0qm, Um = Im√(L/C).

Свободные затухающие колебания. Поскольку всякий реальный контур обладает активным сопротивлением R≠0, то введя обозначение β=R/(2L) уравнение (3) можно переписать следующим образом

 

d2q/dt2 + 2βdq/dt + ω02q = 0. (9)

 

(9) – дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний.

При условии, что β<ω0 решение уравнения (9) для заряда q имеет вид затухающих колебаний:

q = qm e-βt cos(ωt + α), (10)

 

где ω = √(ω02 – β2) - частота затухающих колебаний.

После подстановки в последнее выражение значений для ω0 и β, получим

 

ω = √(1/LC – R2/4L2). (11)

Т.О., ω<ω0. При R = 0 выражение (11) переходит в (4).

Колебания заряда на обкладках конденсатора происходят с периодом

Т = 2π/ω и убывающей амплитудой qm (t) = qmexp(-Rt/2L), рис.2.

q

 
 

 


t

 

 

Рис.2.

Характерное время затухания электрических колебаний в контуре определяется временем релаксации

τ = 1/β = 2L/R,

т.е. индуктивность является мерой инертности для электрических колебаний заряда, а значит, и силы тока в контуре.

Напряжение на конденсаторе пропорционально заряду q, поэтому оно изменяется синхронно с зарядом q, а сила тока

 

I = dq/dt = qm e-βt [-βcos(ωt + α) – ωsin(ωt + α)].

Это выражение можно преобразовать к виду

 

I = Ime-βtcos(ωt + α +Δ) (12)

 

Из (12) видно, что сила тока также затухает со временем, однако колебания тока происходят с некоторым опережением по фазе (Δ) относительно колебания заряда (напряжения) на конденсаторе.

Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания

λ = ln a (t)/ a (t+T) = βT, (13)

где a (t) – амплитуда соответствующей величины (q,U или I). Вспомним, что λ = 1/Ne, где Ne- число колебаний, совершаемых за время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз.

Подставив в (13) значение для β=R/2L и Т=2π/ω, получим

 

λ = (R/2L)(2π/ω) = πR/Lω, (14)

 

т.е. логарифмический декремент затухания определяется параметрами контура L,C и R и является характеристикой контура.

Если затухание невелико (β<<ω0), то в (14) можно считать ω ≈ ω0 =1/√LC. Тогда

λ ≈ (πR/L)√(LC) = πR√(C/L).

 

Это выражение по форме аналогично закону Ома (U = I/R), поэтому величину √(C/L), которая имеет размерность электрического сопротивления, называют волновым сопротивлением.

Колебательный контур часто характеризуют его добротностью Q, которая определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания

 

Q = π/λ = πNe. (15)

 

Видно, что добротность контура тем больше, чем большее число колебаний он успевает совершить, прежде чем амплитуда колебаний уменьшиться в е раз. В случае слабого затухания

 

Q = (1/R)√(L/C).

 

Отметим, что при β2 ≥ ω02 вместо колебаний в контуре происходит апериодический разряд конденсатора. Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим. Значение критического сопротивления Rk определяется условием Rk2/4L2 = 1/LC, откуда

 

Rk = 2√(L/C).

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 6533; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.035 сек.