Числовые характеристики показательного распределения

Пусть непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону

.

Найдем математическое ожидание:

.

Интегрируя по частям, получим

. (12.2)

Таким образом, математическое ожидание показательного распределения равно обратной величине параметра X.

Найдем дисперсию:

.

Интегрируя по частям, получим

.

Следовательно, . Найдем среднее квадратическое отклонение, для чего извлечем квадратный корень из дисперсии:

. (12.3)

Сравнивая (12.2) и (12.3), заключаем, что , т.е. математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

Пример. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону

Найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение и дисперсию X.

Решение. По условию, l = 5. Следовательно, ; .

Замечание 1. Пусть на практике изучается показательно распределенная случайная величина, причем параметр l неизвестен. Если математическое ожидание также неизвестно, то находят его оценку (приближенное значение), в качестве которой принимают выборочную среднюю . Тогда приближенное значение параметра l находят с помощью равенства

.

Замечание 2. Допустим, имеются основания предположить, что изучаемая на практике случайная величина имеет показательное распределение. Для того чтсбы проверить эту гипотезу, находят оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения, т.е. находят выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой, поэтому их оценки должны различаться незначительно. Если оценки окажутся близкими одна к другой, то данные наблюдений подтверждают гипотезу о показательном распределении изучаемой величины; если же оценки различаются существенно, то гипотезу следует отвергнуть.

Показательное распределение широко применяется в приложениях, в частности в теории надежности, одним из основных понятий которой является функция надежности.

Дата добавления: 2014-01-20