Равенство Гаусса-Остроградского

Для точечного заряда, вектор электростатической индукции (смещения ) равен:

. (1.2)

где - сила притяжения или отталкивания точечных зарядов и пробного ; – абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, и – абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума и соответственно относительная диэлектрическая проницаемость среды; – вектор, указывающий на направление действия силы вдоль расстояния между зарядами, которые полагаются точечными; - модуль этого вектора, равный непосредственно расстоянию между зарядами (будем об означать как );- единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором .

Вектор индукции не зависит от диэлектрической проницаемости среды. Его величину в упрощенном представлении определяют как число силовых линий, пронизывающих перпендикулярно расположенную к ним единичную площадку.

Поток вектора , т.е. общее число линий, проходящее через замкнутую поверхность S, окружающую заряд q, будет равно:

,

где - элемент телесного угла, а полный телесный угол при интегрировании составит . Нетрудно показать, что, если окружить замкнутой поверхностью N - зарядов с суммарным зарядом , то

. (1.3)

Это равенство составляет основу теоремы Гаусса-Остроградского и называется равенством Гаусса-Остроградского. Получено оно русским математиком Остроградским и независимо от него математиком Гауссом. Это равенство гласит, что поток вектора индукции через замкнутую поверхность S любого вида равно сумме зарядов, находящихся внутри объема, ограниченной этой поверхностью. Очевидно, что поток вектора через поверхность S в среде с диэлектрической проницаемостью

. (1.4)

Дата добавления: 2014-01-20