Приклад

Крайова задача.

Зауваження.

Якщо функція задана лише в області D і її продовжити на всю область D непарним способом, то.

y

C B

l

l x

0 A

Можна довести, що вільні коливання прямокутної мембрани подаються рівнянням:

Знайти розв’язок рівняння

якщо:

Задані початкові умови

- початкова форма мембрани;

- початкова швидкість точок мембрани;

- межові умови. Край мембрани закінчений

Розв’язання (метод відокремлення змінних, метод Фур’є)

1)

2); поділимо на, отримаємо

(при, коливань немає), це рівняння розпадається на два:

і.

3) Використаємо крайові умові для знаходження.

а) ОА: у=0;;

б) СВ:;

в)

г)

(*)

(1)

Оскільки рівняння лінійне, однорідне, то лінійна комбінація за двома індексами буде розв’язком рівнянь.

.

4) Використовуємо початкові умови і знаходимо коефіцієнти та

а)

. (3)

Аналогічно, про диференціювавши по t, знаходимо

. (4)

Висновок:

Розв’язок крайової задачі подається у вигляді подвійного ряду (2) за синусами, де коефіцієнти знаходяться за формулами (3), (4), а - за формулою ().

Фізична інтерпретація розв’язку.

(*)

Власні функції утворюють ортогональну систему власних функцій прямокутної мембрани.

Частоти, що визначаються формулою (*), називаються власними

частотами прямокутної мембрани, а коливання (1) - її власними

коливаннями.

Коливання, які відповідають власним частотам, називаються обертонами

Розглянемо випадок тоді

Лінії, точки в яких не коливаються, називаються вузловими лініями.

З’ясуємо, де які лінії вузлів,

Вузлові лінії будуть:

а) паралельні координатним осям

б) мати складну форму

Власні коливання являють собою стоячу хвилю для прямокутної мембрани. Кожна точка х,у здійснює гармонічне коливання з частотою

і амплітудою причому всі точки мембрани одночасово досягають свого максимального відхилення в ту чи іншу сторону. Наприклад, форма мембрани при коливаннях в

момент коли точки досягають свого максимального відхилення вгору

зображено на рис.1.

Точки, в яких мембрана відхиляється максимально вгору (вниз),

називаються пучностями.

На малюнку зображено стоячі хвилі в той момент, коли всі її

точки досягають найбільшого відхилення.

Наступні стоячі хвилі мають більш складний вигляд.

У випадку кратних власних значень вузлові лінії часто називають

Фігурами Лісажу.

Розглянемо коливання квадратної мембрани (m=l), всім точкам якої (не рахуючи, звичайно, точок межі) надаються однакові початкові швидкості. Тоді будемо мати початкові умови: тобто

За формулою буде, а по формулі:

Якщо хоч один з індексів чи - парний, то цей вираз рівний нулю. Тому покладемо,,, і знайдемо, що відмінні від нуля коефіцієнти

Таким чином,

6.Рівняння Бесселя. Функції Бесселя.

О. Рівнянням Бесселя називається лінійне диференційне, однорідне рівняння II – го порядку для р- дійсне число.

Розв’язок шукаємо у вигляді узагальненого степеневого ряду.

Звідси слідує що коефіцієнт при кожному степені, повинен дорівнювати нулю.

При

При

При

При

Коефіцієнти з непарними індексами дорівнюють 0.

довільне

Розв’язок рівняння подається у вигляді -

2. Подача коефіцієнтів через Г-функцію.

1). Г-функцією називається такий інтеграл

2). Має місце така рівність

.

Зокрема,,

.

Якщо (простий полюс)

Г-функцію можна продовжити на всю комплексну площину. Числа 0, -1,-2,...є прості полюси.

3) Розв’язок рівняння Бесселя можна подати у такому вигляді

Оскільки - довільне число, то беремо його таким, щоб було

У цьому випадку

Називається функцією Бесселя першого роду порядку.

Якщо не є цілим, то рівняння Бесселя має два лінійно незалежні розв’язки:

Якщо – натуральне число, то можна довести, що

Другий лінійно незалежний розв’язок необмежений в точці х=0. Це так звана функція Неймана.

Вивчення бесселевої функції першого роду, виходячи з наведеного розкладу в степеневий ряд, являє деякі математичні утруднення. Але ці функції, в силу їх важливості, для застосувань, добре вивчені і протабульовані (тобто існують детальні таблиці їх значень) для великих

мало відрізняється від або точніше

де якщо

Функція

1) є розв’язком рівняння (у рівнянні Бесселя);

2)

3);

4) Функція має безліч нулів.

Відстань між сусідніми нулями з великими індексами приблизно дорівнює.

y

2.4 5.5 8.7 x

5) (властивість ортогональності)

Амплітуда цієї хвилі прямує до 0 зі швидкістю. Друга лінійно незалежна функція, що є розв’язком рівняння Бесселя, буде необмеженою в точці x=0. Вона називається функцією Неймана N.

Загальний розв’язок рівняння Бесселя є лінійна комбінація. де - обмежена, а - необмежена.

Приклад. Довести, що

,де

використовуємо той факт, що, маємо

, що й треба було довести.

Приклад. Перевірити чи виконується рівність:

Розв’язання:

Підставляємо отримані результати в умову:

Таким чином рівність правильна.

7. Коливання круглої мембрани.

Постановка задачі:

Розв’язати двомірне хвильове рівняння,

(1)

яке задовольняє такі умови:

r

r- полярний радіус;

- полярний кут;

- координати.

Найбільший інтерес являє випадок, коли кругла мембрана коливається, зберігаючи форму поверхні обертання навколо осі, що проходить через центр мембрани і перпендикулярна їй, тобто коли не залежить від. Такі коливання називаються осесиметричними. Для осесиметричних коливань початкові умови (2) і (3).

1) Подаємо рівняння (1) в полярних координатах

не залежить від

2) Застосовуємо метод відокремлення змінних (метод Фур’є).

3) Розв’язуємо кожне з одержаних диференціальних рівнянь.

а)

б)

;.

- рівняння Бесселя для р=0

Розв’язком цього рівняння, як відомо, є (- функція Бесселя першого роду нульового порядку.

.

4)

5) Використаємо межові умови і знаходимо параметр - власні числа.

- числа є нулями для функції Бесселя з нульовим індексом.

. Існує безліч власних значень, (спектр власних значень).

Дата добавления: 2014-01-20