Алгебраические операции с матрицами. Перестановки и подстановки

Лекция 1

Задачи для самостоятельного решения.

Объем тела вращения.

Определение: Если криволинейная трапеция ограничена линиями y=0; x=a; x=b; y=f(x), где f(x)³0 вращается вокруг оси OX, то полученное тело называется телом вращения вокруг оси OX.

Как известно, объем тела выражается через площадь поперечного сечения по формуле:. В данном случае поперечными сечениями являются круги радиусом R_кр=f(x); S_кр=S(x) = pf²(x) ÞV_OX =.

Если фигура, ограниченная кривыми y₁=f₁(x) и y₂=f₂(x) [0 ] и прямыми x=a, x=b, вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения

Если криволинейная трапеция ограниченная линиями вращается вокруг оси OY, то объем полученного тела вращения V _OY=

Пример: Вычислить объем тела вращения, ограниченного линиями y=0; x=0; x=1; y=e^x.

х

y

Вопросы для самоконтроля:

1.Объем тела вращения, если ось вращения – ось Ох.

2.Объем тела вращения, если ось вращения – ось Оу.

1.Фигура, образованная дугами парабол y = u, вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем тела вращения.

2.Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями х²=у, =у.

3.Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у=.

4.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми у= и у=х².

Решение типовых задач:

Пример 1. Криволинейная трапеция, ограниченная координатными

осями, прямой и кривой вращается вокруг: а) оси абсцисс;

б) оси ординат. Найти объем полученных тел вращения.

Решение: а) Ясно, что

.

б) На рис.1 изображено тело, объем которого мы будем находить.

Так как, то изменяется в интервале. Кроме того, надо явно выразить x через y. Так как, то отсюда. Тогда

Вычисление интегралов производилось с помощью формулы интегрирования по частям.В первом случае мы полагали

,а во втором случае -.

Рис.1

1. Матрицы. Алгебраические операции с матрицами

Определение 1. Матрицей A размерности s n называется прямоугольная таблица из s n чисел, состоящая из s строк и n столбцов.

Здесь: - элемент матрицы,

i – номер строки,

j – номер столбца.

Обозначения матриц:

Пример. - матрица порядка 2 3;

Типы матриц:

1. квадратная матрица;

2. нуль-матрица;

3.; A – диагональная матрица; элементы главной диагонали;

4. единичная матрица;

5.;

верхняя треугольная матрица;

6.;

нижняя треугольная матрица;

Пример.

1. - единичная матрица первого порядка;

2. - диагональная матрица;

3. - верхняя треугольная матрица;

Определение 2. Пусть матрицы А и В имеют одинаковую размерность s n и выполнено условие,. Тогда матрицы А и В называются равными матрицами.

Обозначение: А=В.

Определение 3. Пусть матрицы А и В имеют одинаковую размерность s n. Суммой матриц А и В называется матрица С размерности s n

такая, что

Обозначение: С=А+В.

Определение 4. Произведением матрицы А порядка s n на вещественное число называется матрица С той же размерности.

Обозначение: C= A

Пример.

Свойства линейных операций над матрицами

1.А+В=В+А;

2.(А+В)+С=А+(В+С);

3.

4.

5.

Определение 5. Разностью матриц А и В порядка s n называется матрица С порядка s n такая, что А= В+С.

Обозначение: С=А-В

Определение 6. Произведением матриц А и В порядка s n и n p соответственно называется матрица С порядка s p такая, что

Обозначение: С=АВ

Замечание. Вообще говоря,. Матрицы А и В, произведение которых обладает свойством АВ=ВА, называются коммутирующими. Например, единичная матрица Е коммутирует со всеми квадратными матрицами соответствующей размерности: АЕ=ЕА=А.

Примеры.

1.

1 1

1 3

;

3 1

2.

2 2

2 2

2 2

;

;

;

;

.

Определение 7. Матрица В порядка s n называется транспонированной матрицей А порядка n s, если выполнено Переход от матрицы А к транспонированной матрице называется транспонированием.

Обозначение:

Замечание. При транспонировании матрицы А столбцы матрицы А становятся строками матрицы с теми же номерами.

Пример..

2. Перестановки и подстановки. Понятия инверсии и четности

Обозначим М={1,2,…,n} – множество первых n натуральных чисел.

Определение 1. Перестановкой n -го порядка называется упорядоченная последовательность элементов множества М, взятых без пропусков и повторений: где элемент множества М,

Пример. Пусть n =3 => M = {1,2,3}.

Запишем все возможные перестановки 3-го порядка:

Отсюда получим, что существует 6 различных перестановок 3-го порядка. Справедливо следующее утверждение:

Утверждение. Cуществует n! различных перестановок n -го порядка.

Определение 2. Элементы и перестановки образуют беспорядок (инверсию) в перестановке, если но при этом.

Число инверсий в перестановке обозначим N

Пример. Найдем число инверсий в перестановке (4 3 1 2). Выпишем пары элементов образующих инверсии:

Отсюда N (4312)=5.

Определение 3. Взаимная перестановка элементов, (не обязательно соседних) называется их транспозицией (при этом остальные элементы фиксированы).

Определение 4. Перестановка () называется четной (нечетной), если число N () является четным (нечетным).

Утверждение. Любая транспозиция элементов меняет четность перестановки.

Доказательство. Справедливость утверждения очевидна для транспозиции соседних элементов. Рассмотрим случай транспозиции несоседних элементов. Такую транспозицию можно выполнить, произведя 2s+1 транспозицию соседних элементов. Четность перестановки меняется нечетное число раз, следовательно, окончательно четность изменится.

▲

Определение 5. Подстановкой n -го порядка называется взаимно однозначное отображение множества M ={ 1,2,…,n } самого в себя.

Подстановку n -ого порядка запишем в виде

p =.

Эту запись понимаем так: элемент переходит в переходит в. Существует несколько записей одной и той же подстановки.

Определение 6. Пусть N(p) = N () + N (). Подстановка p называется четной (нечетной), если N(p) – четное (нечетное) число.

Замечание. Все записи одной и той же подстановки имеют одинаковую четность. Действительно, различные записи подстановки отличаются порядком столбцов. Перестановка двух столбцов состоит из двух транспозиций элементов верхней и нижней строк, при этом четности верхней и нижней перестановок изменятся, следовательно, окончательно четность подстановки не изменится.

Пример. Определим четность постановки p =.

Переставим столбцы в подстановке так, чтобы верхняя перестановка имела натуральный порядок (при этом четность перестановки не изменится):

p =

N ()= N (1 2 3 4) + N (4 3 2 1)= 0+ 6 = 6 = N(p).

Подстановка p является четной.

Дата добавления: 2014-01-20