Лекция 8. Элементы теории матричных игр

План:

1 вопрос. Понятие об игровых моделях. Платежная матрица игры.

2 вопрос. Решение игр в смешанных стратегиях.

1 вопрос

При принятии управленческих решений в условиях неопределенности следует различать две возможные ситуации: 1-реализация управленческого решения в условиях (природной неопределенности) вероятности которых неизвестны и не могут быть признаны равными; 2-выбор оптимальной стратегии двух участников процесса (физических или юр лиц). Разработка управленческих решений во втором случае осуществляется с использованием инструментария матричных игр. Под матричной игрой будем понимать конфликтную ситуацию, в которой один из участников обязательно выигрывает, соответственно второй проигрывает. Наиболее часто встречается ситуация парной игры и с нулевой суммой выигрыша. Совокупность правил определяющих выбор действий каждого игрока называется стратегией. Стратегии игроков имеют количественную оценку. Парные игры описываются с помощью платежной матрицы.

В строках платежной матрицы описываются альтернативы первого игрока. По строкам как правило описывается выигрыш игрока. Столбцы представляют собой альтернативы второго игрока В1,В2,..,Вn. Как правило они описывают проигрыш.

Платежная матрица характеризуется нижней и верхней ценой игры. Для нахождения нижней цены игры по строкам выбирают наименьшее значение, а затем среди всех наименьших значений выбирают наибольшее. Нижняя цена игры это гарантированный выигрыш первого игрока при любой стратегии второго игрока. При определении верхней цены игры по столбцам выбирают наибольшее значение, а затем из всех наибольших наименьшее значение.

Управленческие решения могут приниматься в чистых стратегиях и смешанных стратегиях. Если нижняя цена игры совпадает с верхней ценой игры, то управленческое решение принимается в чистых стратегиях.

Рассмотри платежную матрицу Р:

Так как нижняя цена игры совпадает с верхней ценой игры, то данная игра, является игрой в чистых стратегиях. По цене игры 0,7 выбираем оптимальные альтернативы для первого и второго игрока. В качестве управленческого решения игрока первого альтернатива А2 будет оптимальна. А для второго игрока будет альтернатива В2. Данная ситуация простая.

При анализе платежных матриц целесообразно воспользоваться правилами доминирования: 1 правило – неперспективными стратегиями для первого игрока считаются те, где выигрыш меньше либо равен независимо от выбора стратегии второго игрока. 2 правило – не перспективными считаются те столбцы, в которых проигрыш больше или равен независимо от выбора стратегий альтернативы первым игроком.

2 вопрос.

Игра называется игрой в смешанных стратегиях, если нижняя цена игры не совпадает с верхней ценой игры. Основной задачей при разработке управленческих решений в смешанных стратегиях является определение вероятности использования той или иной альтернативы. С использованием правил доминирования размерность платежной матрицы может быть сведена к размерности 2 * 2; m * 2; 2*n.

Рассмотрим решение платежной матрицы размерностью 2*2. Пусть вероятность выигрыша для первого игрока при использовании стратегии А1=р. Тогда вероятность выигрыша при использовании стратегии А2=1-р. Цена игры при использовании вторым игроком стратегии В1=р*а1+(1-р)*а21. Цена игры при использовании вторым игроком стратегии В2=р*ф12+(1-р)*а22.

Для определения вероятности выигрыша при реализации первой стратегии решим уравнение:

Р*а11+(1-р)*а21=р*а12+(1-р)*а22

Р*а11+а21-р*а21=р*а12+а22-р*а22

Р*а11-р*а21-р*а12+р*а22=а22-а21

р=(а22-а21)/(а11-а21-а12+а22)

для первого игрока оптимальной является та альтернатива вероятность, которой больше.

Пусть q вероятность проигрыша при реализации альтернативы В1, а 1-q вероятность проигрыша при реализации альтернативы В2. Цена игры для второго игрока при реализации первым игроком альтернативы. В качестве управленческого решения для второго игрока выбирается альтернатива с наименьшей вероятностью.

Дата добавления: 2014-01-11