Рассеяние частиц. В предыдущем параграфе рассматривалось движение частицы в поле с неподвижным центром

Задача двух тел.

В предыдущем параграфе рассматривалось движение частицы в поле с неподвижным центром. Ниже мы рассмотрим различные случаи столкновения двух частиц, представляющие большой практический интерес, и покажем, что такие задачи можно формально свести к рассмотрению движения одной частицы в поле центральных сил.

Иное название рассматриваемой проблемы – задача двух тел. Отметим, что только для двух взаимодействующих тел поставленная задача имеет аналитическое решение в общем виде.

14.1. Взаимодействие двух частиц. Приведенная масса.

Рассмотрим взаимодействие двух частиц, которые образуют замкнутую систему. Задачу о движении этих частиц удобнее решать в системе центра инерции (СЦИ). Центр инерции замкнутой системы частиц, как это следует из закона сохранения импульса либо находится в покое, либо движется равномерно и прямолинейно. Поэтому СЦИ является инерциальной системой отсчета.

Радиус-вектор (координаты) центра инерции определяется как (см. рисунок):

(14.1)

Если начало отсчета поместить в центр инерции системы, то и из (14.1) имеем

. (14.2)

Введем в рассмотрение вектор, характеризующий относительное положение частиц:

. (14.3)

Тогда, используя уравнения (14.2) и (14.3) можем записать

(14.4)

Согласно третьему закону Ньютона силы взаимодействия между частицами:

. (14.5)

Запишем уравнения динамики для каждой из взаимодействующих частиц (закон Ньютона):

, (14.6)

Перенеся массы частиц в уравнениях (14.6) в правую часть, вычтем первое уравнение из второго. Получаем

Итак, получаем уравнение движения в виде:

, (14.7)

где - приведенная масса системы частиц.

Формально мы перешли к задаче о движения одной частицы массой в поле сил.

Т.о., любая задача о движении двух взаимодействующих тел сводится к задаче о движении одного тела с массой, равной приведенной массе системы частиц, в центральном поле сил. Поэтому все результаты, полученные в предыдущем параграфе, могут быть использованы при решении этой задачи. Определяя или, и находя далее и, получаем те же плоские траектории: эллипсы, параболы и гиперболы.

Примеры

двойные системы звезд, позитроний, рассеяние заряженных частиц.

Столкновения частиц

Столкновения частиц подразделяют на упругие, при которых не происходит изменения внутренней энергии частиц, и неупругие, в результате которых внутренняя энергия взаимодействующих частиц изменяется. Существует большое число неупругих столкновений, в которых внутренняя энергия частиц может изменяться только на вполне определенную величину, зависящую от свойств самих частиц (например, столкновения атомов). Говорят, что такие взаимодействия обладают порогом. Порогом называют минимальную кинетическую энергию налетающей частицы, начиная которой проводимый процесс становится энергетически возможным.

14.2. Неупругие столкновения

Итак, неупругими называются столкновения частиц, при которых часть кинетической энергии переходит во внутреннюю. Например, пуля, пробивая доску, теряет часть энергии, которая идет на изменение внутренней структуры и теплоту. Абсолютно неупругим называется удар, в результате которого тела «слипаются» и движутся далее как единое целое (см. рисунок).

Распад частиц.

Рассмотрим обратный абсолютно неупругому столкновению процесс, называемый распадом частицы, и опишем его в лабораторной системе отсчета (система) и в системе центра инерции (cистема).

Лабораторная система отсчета Система центра инерции

Очевидно, что наиболее простое описание получает этот процесс в системе центра инерции. В системе частицы, образовавшиеся в результате распада, уносят одинаковое количество движения, двигаясь в противоположные стороны. Тогда в системе закон сохранения импульса можно записать как

и пусть.

Поскольку исходная частица в системе покоится, её полная энергия равна внутренней. В этом случае закон сохранения энергии (с учетом внутренней энергии образовавшихся частиц) имеет вид:

, (14.8)

Введем энергию распада как энергию, перешедшую при распаде из внутренней энергии исходной частицы в кинетическую энергию осколков:

(14.9)

Учитывая (14.8), получаем

Т.е. в системе энергию распада частицы можно представить как кинетическую энергию частицы с приведенной массой:

(14.10)

Если известно, то находим и скорости частиц в СЦИ:

(14.11)

Примечание: уравнения (14.10)-(14.11) справедливы для абсолютно неупругого удара, если процесс рассматривать в СЦИ.

Вернемся в лабораторную систему отсчета ( система), поскольку именно полученные в ней результаты представляют практический интерес.

Используя полученные в СЦИ результаты, определим в лабораторной системе отсчета возможные углы вылета одной из образовавшихся частиц относительно направления движения исходной частицы.

Пусть - скорость в системе исходной частицы, - скорость в системе одной из образовавшихся частиц, - ее скорость в системе. Тогда, следуя преобразованиям Галилея для скорости первого “осколка”, имеем следующее соотношение:

, (14.12)

возводя в квадрат, получаем

. (14.13)

Здесь и есть угол вылета частицы по отношению к скорости первоначальной частицы. Поэтому уравнение (14.13) определяет зависимость скорости образовавшейся в результате распада частицы от направления ее вылета в системе. Эту зависимость можно проанализировать эти графически с помощью диаграмм.

Построим окружность радиусом. Затем к центру окружности проводим вектор. Тогда, исходя из (14.12), скорость образовавшейся частицы определяется вектором, проведенным из точки в какую-либо точку окружности (точнее – сферы, диаметральным сечением которой является изображенная окружность).

На диаграммах рассмотрены случаи, когда скорость распадающейся частицы в системе меньше

(, рис. слева) или больше (, рис. справа) скорости образующейся частицы в системе.

При, как следует из изображенной слева диаграммы, частица может вылететь под любым углом. В случае же (правая диаграмма) частица может вылететь только вперед, под углом. Предельное значение угла вылета частицы задается равенством:

. (14.14)

и определяет направление касательной к окружности, проведенной из точки.

Связь между углами вылета и в и системах определяется из тех же диаграмм и дается выражением:

. (14.15)

Решая это уравнение относительно, после элементарных преобразований получим

. (14.16)

При связь между углами и, как это видно из левого рисунка, однозначна. В этом случае в выражении (14.16) перед вторым слагаемым надо выбрать знак, чтобы при было.

Если же, то связь между углами и неоднозначна. Как видно из правого рисунка, каждому значению отвечают два значения, соответствующие векторам, проведенным из центра окружности в точки и, и, соответственно, два знака перед вторым слагаемым в выражении (14.16).

14.3. Упругие столкновения

Столкновение двух частиц называется упругим, если оно не сопровождается изменением их внутреннего состояния. Поэтому при описании упругого соударения в законе сохранения энергии внутреннюю энергию тел можно не учитывать.

Выберем лабораторную систему отсчета, где одна из частиц обладает импульсом, а вторая до соударения покоится (), и запишем законы сохранения энергии и импульса:

(14.17а)

. (14.17б)

Выразим из уравнения (14.17б) и подставим в уравнение (14.17а):

Введя угол между векторами и, выразим:

. (14.18)

Полученный результат можно интерпретировать графически с помощью векторных диаграмм, построенных для различных соотношений масс сталкивающихся частиц:

; и.

Обозначим

, (14.19)

где приведенная масса, скорость налетающей частицы (вторая частица покоится),

и проведем окружность радиусом. Построим вектор.

Из (14.19) следует

. (14.20)

Направленный отрезок на диаграмме изображает импульс налетающей частицы до рассеяния. При этом точка лежит внутри (если), вне (если) или на окружности (если).

Из (14.20) видно, что складывается из отрезков и, пропорциональных массам сталкивающихся частиц, и, соответственно.

В свою очередь из (14.18) следует, что диаметр окружности, равный

,

будучи умноженным на, дает вектор (см. рисунок: как угол, вписанный в окружность).

Из уравнения (14.17б) следует, что вектору на диаграмме соответствует отрезок, направленный из точки в точку. Тогда угол отклонения 1-ой частицы (налетающей) от её первоначального направления движения после столкновения.

Угол угол разлета 1 и 2-ой частиц после столкновения.

Возможные направления рассеяния первой частицы определяются вращением вектора вокруг точки. При этом конец вектора (точка) всегда должен лежать на окружности радиусом.

При угол рассеяния может принимать значения от до, а угол разлета изменяется от до.

При очевидно, что существует максимальный угол отклонения налетающей частицы, определяемый точкой касания вектором окружности:

.

угол разлета в этом случае изменяется от до.

Угол соответствует центральному удару, или лобовому столкновению частиц.

При все точки начала и конца векторов лежат на

окружности. Угол, т.е. разлет частиц происходит под

прямым углом. В этом случае.

Исключением является лобовое столкновение, при котором

.

Тот же результат можно получить аналитически, решая

совместно уравнения законов сохранения энергии и импульса:

,

.

Возводя в квадрат второе уравнение и сравнивая его с первым, легко убедиться, что совместно эти уравнения могут быть удовлетворены лишь при указанных значениях углов.

На всех рисунках центральный угол представляет собой угол поворота первой частицы в системе центра инерции. Из рисунков видно, что углы и связаны с углом соотношениями:

,.

Модули скоростей частиц после столкновения выражаются через угол и скорость налетающей частицы следующим образом:

,,

где.

15.1. Рассеяние частицы на силовом центре. Формула Резерфорда.

Рассмотрим снова рассеяние частицы на силовом центре.

Если на налетающую частицу действуют силы отталкивания, то, как мы установили в § 13, её движение всегда инфинитно, а траектория частицы - гипербола.

Для рассмотрения задачи введем

прицельное расстояние – длина

перпендикуляра, опущенного из

рассеивающего центра на направление

касательной к траектории (асимптоту гиперболы)

находящейся на бесконечно большом удалении

t ABQABgAIAAAAIQC2gziS/gAAAOEBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10u eG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADj9If/WAAAAlAEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALwEAAF9yZWxzLy5y ZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAHwENnd/AwAAfwgAAA4AAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9lMm9E b2MueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAOA7joLcAAAACQEAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAA2QUAAGRycy9k b3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPMAAADiBgAAAAA= " path="m,120c80,107,163,106,240,80,280,67,322,59,360,40,387,27,440,,440,e" filled="f"> от центра частицы,

угол рассеяния частицы,

масса частицы,

скорость налетающей частицы на

бесконечно большом удалении от центра.

Угол определяет наклон асимптот гиперболы, по которой движется рассеиваемая частица (см. рисунок и уравнение (13.17)), к оси и связан с углом рассеяния очевидным соотношением

(15.1)

Значение угла может быть найдено из уравнения (13.17), если положить, что частица находится на бесконечно большом удалении от рассеивающего центра (). В этом случае уравнение (13.17) приводится к виду:

и. (15.1а)

Тогда, с учетом (15.1) и (15.1а),

.

Учитывая (13.5), находим связь между углом рассеяния и характеристиками частицы и поля:

. (15.2)

На бесконечно большом расстоянии от рассеивающего центра (,), полная энергия и момент импульса частицы равны

. (15.3)

Подставляя эти величины в выражение (15.2), получаем формулу, связывающую угол рассеяния с прицельным параметром:

. (15.4)

Заметим, что при движении частицы в поле притяжения () связь между углом рассеяния и прицельным параметром получается точно такой же, т.е. также выражается формулой (15.4).

Задача о рассеянии на силовом центре имеет важное практическое значение. Однако, формулу (15.4) не удается непосредственно использовать для описания результатов эксперимента, т.к. она написана для определенного прицельного параметра и определяет индивидуальное отклонение частицы. В эксперименте же мы имеем дело не с отдельной частицей, а наблюдаем рассеяние целого пучка одинаковых частиц, падающих на рассеивающий центр с одинаковыми скоростями, но с разными значениями прицельного параметра. Следовательно, и рассеиваются частицы под разными углами.

Поэтому в физике вводится другая, очень важная, характеристика процесса рассеяния - сечение или эффективное сечение.

15.2. Эффективное сечение рассеяния.

Определение: Эффективное сечение рассеяния - величина, характеризующая вероятность перехода системы сталкивающихся частиц в результате их рассеяния (как упругого, так и неупругого) в определенное конечное состояние.

Конечное состояние каждой частицы пучка характеризуется углом, под которым она рассеялась. Обозначим через число частиц, рассеиваемых в единицу времени на углы, лежащие в интервале от до.

Само значение зависит от числа падающих

Объем

Пучок

частиц, точнее от плотности частиц в потоке, и

поэтому его неудобно использовать для

характеристики процесса рассеяния.

Пусть плотность падающих частиц, а

их скорость в направлении движения пучка.

Тогда число падающих на поперечную площадку частиц за время равно

,

т.е. числу частиц, находящихся в объеме

.

Значит, за единицу времени через единицу площади площадки проходит

частиц,

где плотность потока частиц.

В этом случае эффективное сечение рассеяния определяется как

(15.5)

Размерность сечения равна размерности площади, т.к.,,, откуда получаем.

Величина эффективного сечения (15.5) полностью определяется видом рассеивающего поля и является важнейшей характеристикой процесса рассеяния. Эта характеристика измеряется экспериментально и служит для определения структуры сталкивающихся частиц.

Если связь между переменными и взаимно

однозначна, как это имеет место в классической

механике, то под углами, лежащими от до

, рассеиваются только те частицы, которые

летят в некотором интервале значений прицельного

расстояния от до (угол рассеяния

монотонно убывает с ростом прицельного расстояния).

Тогда число частиц, рассеивающихся в единицу

времени в интервал углов (), равно

. (15.6)

Т.о., сечение рассеяния может быть выражено через

прицельное расстояние как

. (15.7)

Часто бывает удобно характеризовать сечение углами,

под которыми вылетают частицы:

. (15.8)

Частицы, испытавшие рассеяние на силовом центре, продолжают свое движение, распределяясь в некоторой

области пространства. Поэтому для описания задачи наряду с плоскими вводят телесные (пространственные)

углы.

Элементарный телесный угол определяется как

, (15.9)

где элемент поверхности сферы радиуса.

Любая поверхность, опирающаяся на элемент

, характеризуется тем же телесным углом.

Любой замкнутой сферической поверхности, от центра которой ведется отсчет, соответствует телесный угол, равный

. (15.10)

Т.о., полный телесный угол равен.

В задачах рассеяния телесный угол, вырезающий область пространства, в пределах которого разлетаются частицы в результате взаимодействия с силовым центром, имеет форму раструба – конусный угол.

Найдем связь между телесным углом, характеризующим результат рассеяния и параметрами столкновения и.

Площадь элемента сферической поверхности,

вырезаемый конусами, задаваемыми углами

и, равна

поэтому

. (15.11)

Тогда сечение рассеяния (дифференциальное сечение):

. (15.12)

Зная зависимость, получим сечение рассеяния как функцию угла. Чтобы найти полное сечение рассеяния, надо проинтегрировать (15.12) по всем углам.

15.3. Упругое рассеяние на твердом шаре.

Найдем полное сечение рассеяния на твердом шаре радиусом, используя выражение (15.8).

Воспользовавшись рисунком, получаем связь между параметрами и:

.

Теперь вычисляем производную:

и, подставляя в выражение (15.8), получаем

дифференциальное сечение рассеяния:

,

или через телесный угол с вершиной в центре шара:

. (15.13)

Из (15.13) следует, что рассеяние в системе изотропно.

Полное сечение рассеяния на твердом шаре равно

. (15.14)

Т.о., прицельная площадь, куда должна попасть частица, чтобы рассеяться, равна площади сечения шара.

15.4. Кулоновское рассеяние.

Рассеяние заряженных частиц на кулоновском центре описывается формулой Резерфорда. Получим эту формулу, принимая в расчет, что связь между параметрами столкновения (, и) дается формулой (15.4). Используя (15.4), запишем квадрат прицельного параметра, продифференцируем полученное выражение и подставим результат в формулу (15.7), выражающую сечение рассеяния через прицельное расстояние:

,

.

Для эффективного сечения имеем (15.7)

.

И окончательно для эффективного сечения рассеяния получаем выражение вида:

. (15.15)

Для рассеяния частиц на ядрах элементов с порядковым номером, подставляя в (15.15), приходим к знаменитой формуле Резерфорда:

. (15.16)

Для сравнения расчетного значения с экспериментом необходимо еще просуммировать по числу ядер в единице объема (1 см³) образца (фольги), и, если ядра не перекрывают друг друга, то измеряемое сечение будет равно

(15.17)

В эксперименте Резерфордом проверялась следующая величина:

. (15.18)

Условия эксперимента не менялись, поэтому правая часть уравнения (15.18) остается постоянной и число рассеянных под углом частиц должно быть пропорционально.

Т.о., путем сравнения результатов, полученных в опытах Резерфорда, и их сравнением с формулой Резерфорда удалось установить, что частицы рассеиваются в поле, создаваемом точечным центром с положительным зарядом ядро атома.

Дата добавления: 2014-01-20