Моделирование средств измерений

Построение и изучение СИ невозможно без математических моделей, адекватно описывающих те или иные их свойства и характеристики. В метрологии используется моделирование измерительных сигналов и моделирование средств измерений. Модель является представлением объекта в некоторой форме, отличной от формы его реального существования. Модель может быть похожей ко­пией объекта, выполненной из другого материала, в другом масштабе, с отсутствием ряда деталей. Модель может, однако, отображать реальность более абстрактно - словесным описанием в свободной форме, описанием, формализо­ванным по каким-то правилам, математическими соотношениями и т.д.

Первый этап - определение целей моделирования. Основные из них таковы:

1) модель нужна для того, чтобы понять как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружаю­щим миром (понимание);

2) модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление);

3) модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование).

Важнейшим этапом моделирования является разделение входных параметров по степени важности влияния их изменений на выходные. Такой процесс называется ранжированием (разделением по рангам). Чаще всего невозможно (да и не нужно) учитывать все факторы, которые могут повлиять на значения интересующих нас величин y_j.

Для построения математических моделей (ММ) СИ необходимо знать, как устроены СИ и каким образом происходит преобразование измерительных сигналов, т.е. нужно знать структуру СИ. Для сложных СИ, каковыми являются большинство современных приборов, анализ их составных частей и ММ является далеко не простой задачей. Для ее оптимального решения, а также для упрощения анализа процессов, протекающих в СИ, введены понятия структурной схемы и измерительных цепи, канала и тракта.

Измерительная цепь — совокупность элементов СИ, образующих непрерывный путь прохождения измерительного сигнала от входа до выхода и обеспечивающих осуществление всех его преобразований.

Измерительный канал — это измерительная цепь, образованная последовательным соединением СИ и других технических устройств, предназначенная для измерения одной величины и имею­щая нормированные метрологические характеристики.

Измерительный тракт — совокупность измерительных каналов, предназначенных для измерения определенной величины и имеющих одинаковые метрологические характеристики.

Структурная схема - условное обозначение измерительной цепи (канала или тракта) СИ с указанием преобразуемых величин. Эта схема определяет основные структурные блоки СИ, их назначение и взаимосвязи.

Структурные элементы могут быть классифицированы по ряду признаков. По типу выходного сигнала они разделяются на активные, генерирующие физические величины — носители энергии (например, аккумуляторы, усилители сигналов разного рода, источники света, излучения и др.), и пассивные, свойства которых зависят от состояния материи и выражаются физическими величинами, не являющимися носителями энергии (например, электрические сопротивления, емкости, индуктивности, оптические элементы — призмы, зеркала и др.).

По виду связи между входной и выходной величинами структурные блоки делятся на линейные и нелинейные. Линейными на­зываются блоки, передаточные функции которых удовлетворяют условиям аддитивности f[X,(t) + X2(t)] = f[X,(t)] + f[X2(t)] и однородности f[CX(t)] = Cf[X(t)]. Параметры линейных блоков не зависят от параметров входного сигнала. Это наиболее простой и удобный для анализа тип блоков, поэтому для решения измерительной задачи по возможности следует выбирать линейные элементы. Примером линейного блока является идеальный усилитель.

Для нелинейных блоков связь между входным и выходным сигналами описывается функцией f, не удовлетворяющей приведенным выше условиям. Эти блоки делятся на квазилинейные и функциональные. Квазилинейные блоки характеризуются незначительной нелинейностью и считаются линейными при изменении входной и выходной величин в определенных диапазонах. Функциональным блокам присуща значительная нелинейность, которая учитывается построением соответствующей нелинейной математической модели.

В зависимости от динамических свойств структурные блоки делятся на статические и динамические. В статических блоках взаимосвязь между выходной и входной величинами не зависит от скорости изменения входного сигнала и его производных более высоких порядков. Если такую зависимость необходимо учитывать, то данный структурный блок следует считать динамическим. Различают динамические блоки первого, второго и высших порядков.

Структурные блоки также классифицируются по функции, выполняемой в СИ. По этому признаку они делятся на усилители различных видов, делители, дифференциаторы, интеграторы, коммутаторы, ключи, АЦП, ЦАП, фильтры и др.

3.5. Принципы обработки данных и расчет погрешности ИК

Принципы обработки данных и расчет погрешности ИК 77

Результат измерения. 77

Обработка результатов измерений 78

Идентификация формы распределения результатов измерений 82

Однократные измерения 84

Косвенные измерения 88

Совместные и совокупные измерения 97

Основы теории суммирования погрешностей 99

Суммирование систематических погрешностей 103

Суммирование случайных погрешностей. 106

Суммирование систематических и случайных погрешностей 109

Критерий ничтожно малой погрешности. 111

Классы точности средств измерений 115

Принципы обработки данных и расчет погрешности ИК

Однократные и многократные измерения, методика обработки и представления результатов. Косвенные измерения, методика обработки результатов косвенных измерений, процесс обработки результатов совокупных и совместных измерений. Равноточные и неравноточные измерения: особенности выполнения, оценка результата и погрешности. Основы теории суммирования погрешностей: суммирование систематических и случайных погрешностей средств измерений; критерий ничтожно малой погрешности.

Классы точности средств измерений. Методика расчета погрешности ИК по нормированным метрологическим характеристикам.

Результат измерения.

Понятие результата измерения.

Результат - значение ФВ, полученное путем ее измерения. Результат измере­ния представляется именованным или неименованным числом. Совместно с результатом измерений при необходимости приводят данные об условиях измерений.

При использовании термина "результат измерения" следует четко указать, к чему он относится: показанию СИ, исправленному или не исправленному результату, и проводилось ли усреднение результатов нескольких измерений. Следует отметить, что исправленным результатом измерений называется полученное с помощью СИ значение величины и уточненное путем введения в него необходимых поправок на действие предполагаемых систематических погрешностей.

Понятие точности измерения.

Точность измерения - характери­стика качества измерения, отражающая близость к нулю погрешно­сти его результата. Точность измерения является величиной качест­венной. Высокая точность измерения соответствует малым погрешно­стям и наоборот. Иногда точность количественно оценивают обратной величиной модуля относительной погрешности. Например, если по­грешность составляет 0,001, то точность равна 1000. Однако количе­ственная оценка точности широкого распространения не получила.

Представление результата измерения.

Согласно МИ 1317 – 86 различают четыре формы представления результата измерения:

х, Δ от Δн до Δв, р(Δ).

х, Δ_с от Δ_с.н. до Δ_с.в., р(Δс), σ(Δ⁰).

х, σ(Δ_с), р^ст(Δ_с), σ(Δ⁰), р^ст(Δ⁰).

х, закон распределения Δ_с, закон распределения Δ⁰.

Обработка результатов измерений

Прямые многократные измерения

Равноточные измерения

Прямые многократные измерения делятся на равно- и неравно­точные. Теоретические основы и методика объединения результа­тов неравноточных измерений подробно рассмотрены в [3]. Равно точными называются измерения, которые проводятся средствами измерений одинаковой точности по одной и той же методике при неизменных внешних условиях. При равноточных измерениях СКО результатов всех рядов измерений равны между собой.

Перед проведением обработки результатов измерений необхо­димо удостовериться в том, что данные из обрабатываемой выбор­ки статистически подконтрольны, группируются вокруг одного и того же центра и имеют одинаковую дисперсию. Устойчивость изменений часто оценивают интуитивно на основе длительных на­блюдений. Однако существуют математические методы решения поставленной задачи — так называемые методы проверки однород­ности [3]. Применительно к измерениям рассматривается однород­ность групп наблюдений, необходимые признаки которой состоят в оценке несмещенности средних арифметических и дисперсий от­носительно друг друга.

Проверка допустимости различия между оценками дисперсий нормально распределенных результатов измерений выполняется с помощью критерия Р.Фишера при наличии двух групп наблюде­ний и критерия М.Бартлетта, если групп больше.

Задача обработки результатов многократных измерений за­ключается в нахождении оценки измеряемой величины и довери­тельного интервала, в котором находится ее истинное значение. Обработка должна проводится в соответствии с ГОСТ 8.207—76 "ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы об­работки результатов наблюдений. Общие положения".

Исходной информацией для обработки является ряд из n (n > 4) результатов измерений , из которых исключены известные систематические погрешности, — выборка. Число n за­висит как от требований к точности получаемого результата, так и от реальной возможности выполнять повторные измерения.

Последовательность обработки результатов прямых многократ­ных измерений состоит из ряда этапов.

Определение точечных оценок закона распределения резуль­татов измерений. На этом этапе определяются:

• среднее арифметическое значение х измеряемой величины;

• СКО результата измерения Sx;

• СКО среднего арифметического значения .

Грубые погрешности и промахи исключаются, после чего проводится по­вторный расчет оценок среднего арифметического значения и его СКО. В ряде случаев для более надежной идентификации закона распределения результатов измерений могут определяться другие точечные оценки: коэффициент асимметрии, эксцесс и контрэкс­цесс, энтропийный коэффициент.

Определение закона распределения результатов измерений или случайных погрешностей измерений. В последнем случае от выборки результатов измерений переходят к вы­борке отклонений от среднего арифметического где .

Первым шагом при идентификации закона распределения яв­ляется построение по исправленным результатам измерений , где i=1, 2,..., n, вариационного ряда (упорядоченной выборки), а также , где и В вариационном ряду результаты измерений (или их отклонения от среднего арифмети­ческого) располагают в порядке возрастания. Далее этот ряд раз­бивается на оптимальное число т, как правило, одинаковых ин­тервалов группирования длиной .

Задача определения оптимального числа m интервалов группи­рования рассматривалась в ряде работ, обзор которых дан в [4]. Оптимальным является такое число интервалов т, при котором возможное максимальное сглаживание случайных флуктуации дан­ных сопровождается с минимальным искажением от сглаживания самой кривой искомого распределения. Для практического приме­нения целесообразно использовать предложенные в [4] выражения и , которые получены для наиболее часто встречающихся на практике распределений с эксцессом, на­ходящимся в пределах от 1,8 до 6, т.е. от равномерного до распре­деления Лапласа.

Искомое значение m должно находится в пределах от до , быть нечетным, так как при четном m в островершинном или двухмодальном симметричном распределении в центре гисто­граммы оказываются два равных по высоте столбца и середина кривой распределения искусственно уплощается. В случае, если гистограмма распределения явно двухмодальная, число столбцов может быть увеличено в 1,5-2 раза, чтобы на каждый из двух максимумов приходилось примерно по m интервалов. Полученное значение длины интервала группирования h всегда округляют в большую сторону, иначе последняя точка окажется за пределами крайнего интервала.

Далее определяют интервалы группирования экспериментальных данных в виде , и подсчитывают число попаданий (частоты) результатов измере­ний в каждый интервал группирования. Сумма этих чисел должна равняться числу измерений. По полученным значениям рассчиты­вают вероятности попадания результатов измерений (частости) в каждый из интервалов группирования по формуле , где k=l, 2,..., m.

Проведенные расчеты позволяют построить гистограмму, по­лигон и кумулятивную кривую. Для построения гистограммы по оси результатов наблюдений х (рис. 8.1,а) откладываются интерва­лы в порядке возрастания номеров и на каждом интервале стро­ится прямоугольник высотой . Площадь, заключенная под графи­ком, пропорциональна числу наблюдений n. Иногда высоту прямоугольника откладывают равной эмпирической плотности вероятности , которая является оценкой сред­ней плотности в интервале . В этом случае площадь под гисто­граммой* равна единицею При увеличении числа интервалов и соответственно уменьшении их длины гистограмма все более при­ближается к гладкой кривой — графику плотности распределения вероятности» Следует отметить, что в ряде случаев производят рас­четное симметрирование гистограммы.

Полигон представляет собой ломаную кривую, соединяющую середины верхних оснований каждого столбца гистограммы (см. рис. 8.1,а). Он более наглядно, чем гистограмма, отражает форму кривой распределения. За пределами гистограммы справа и слева остаются пустые интервалы, в которых точки, соответствующие их серединам, лежат на оси абсцисс.

Эти точки при построении полигона соединяют между собой отрезками прямых линий. В результате совместно с осью х образу­ется замкнутая фигура, площадь которой в соответствии с прави­лом нормирования должна быть равна единице (или числу наблюдений при использовании частостей). Кумулятивная кривая — это график статистической функции распределения. Для ее построения по оси результатов наблюдений х (рис. 8.1,6) откладывают интервалы Ak в порядке возрастания номеров и на каждом интервале строят прямоугольник высотой

Значение называ­ется кумулятивной частостью, а сумма — кумулятивной частотой. По виду построения зависимостей может быть оценен за­кон распределения результатов измерений.

Оценка закона распределения по статистическим критериям. При числе наблюдений n>50 для идентификации закона распределения используется критерий Пирсона (хи-квадрат, см. 8.1.2) или кри­терий Мизеса—Смирнова (). При 50 > n > 15 для проверки нормаль­ности закона распределения применяется составной критерий (d-критерий), приведенный в ГОСТ 8.207-76. При n < 15 принадлежность экспериментального распределения к нормальному не проверяется.

Определение доверительных границ случайной погрешности. Если удалось идентифицировать закон распределения результатов измерений, то с его использованием находят квантильный множи­тель zp при заданном значении доверительной вероятности Р. В этом случае доверительные границы случайной погрешности .

Определение границ неисключенной систематической погреш­ности результата измерений. Под этими границами понимают найденные нестатистическими методами границы интервала, внут­ри которого находится неисключенная систематическая погрешность. Она образуется из ряда составляющих: как правило, погрешностей метода и средств измерений, а также субъективной погрешности. Границы неисключенной систематической погрешности принима­ются равными пределам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если их случайные составляющие пренебрежимо малы. Они суммируются по правилам, рассмотрен­ным в разд. 9.2. Доверительная вероятность при определении гра­ниц принимается равной доверительной вероятности, используе­мой при нахождении границ случайной погрешности.

Определение доверительных границ погрешности результа­та измерения . Данная операция осуществляется путем сумми­рования СКО случайной составляющей и границ неисключен­ной систематической составляющей в зависимости от соотношения по правилам, изложенным в разд. 9.4.

Запись результата измерения. Результат измерения записы­вается в виде при доверительной вероятности . При отсутствии данных о виде функции распределения составляю­щих погрешности результаты измерений представляют в виде при доверительной вероятности .

Идентификация формы распределения результатов измерений

В качестве способа оценки близости распределения выборки экспериментальных данных к принятой аналитической модели за кона распределения используются критерии согласия. Известен целый ряд критериев согласия, предложенных разными авторами. Наибольшее распространение в практике получил критерий Пир­сона. Идея этого метода состоит в контроле отклонений гистограм­мы экспериментальных данных от гистограммы с таким же чис­лом интервалов, построенной на основе распределения, совпадение с которым определяется. Использование критерия Пирсона [3, 48] возможно при большом числе измерений (n > 50) и заключается в вычислении величины (хи-квадрат):

где , — экспериментальные и теоретические значения частот в i-м интервале разбиения; m — число интервалов разбиения; Pi — значения вероятностей в том же интервале разбиения, соответствующие выбранной модели распределения; .

При случайная величина имеет распределение Пирсо­на с числом степеней свободы v = m-1-r, где r — число определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы. Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется указанием двух его параметров — математического ожидания и СКО.

Если бы выбранная модель в центрах всех m столбцов совпадала с экспериментальными данными, то все m разностей были бы равны нулю, а следовательно, и значение критерия также было бы равно нулю. Таким образом, есть мера суммарного от­клонения между моделью и экспериментальным распределением.

Критерий не инвариантен к числу столбцов и существенно возрастает с увеличением их числа. Поэтому для использования его при разном числе столбцов составлены таблицы квантилей распре­деления входом в которые служит так называемое число степе­ней свободы v = (m-1-r). Чтобы совместить модель, соответствую­щую нормальному закону, с гистограммой, необходимо совместить координату центра, а для того, чтобы ширина модели соответст­вовала ширине гистограммы, ее нужно задать как г = 2 и v = m—3. Часть квантилей распределения приведена в Если вычисленная по опытным данным мера расхождения меньше определенного из таблицы значения , то гипотеза о сов­падении экспериментального и выбранного теоретического распре­делений принимается. Это не значит, что гипотеза верна. Можно лишь утверждать, что она правдоподобна, т.е. она не противоречит

опытным данным. Если же выходит за границы доверительного интервала, то гипотеза отвергается как противоречащая опытным данным.

Методика определения соответствия экспериментального и принятого законов распределения заключается в следующем:

• определяют оценки среднего арифметического значения и СКО S_x по формулам (6.9) и (6.11);

• группируют результаты многократных наблюдений по интервалам длиной h, число которых определяют так же, как и при
построении гистограммы;

• для каждого интервала разбиения определяют его центр x_io и
подсчитывают число наблюдений n_i попавших в каждый интервал;

вычисляют число наблюдений для каждого из интервалов,
теоретически соответствующее выбранной аналитической модели распределения. Для этого сначала от реальных середин интерваловпроизводят переход к нормированным серединам . Затем для каждого значения z_i с помощью аналитической модели находят значение функции плотности вероятностей f().

По найденному значению f() определяют ту часть ; имею­щихся наблюдений, которая теоретически должна быть в каждом из интервалов , где n — общее число наблюдений;

• если в какой-либо интервал теоретически попадает меньше
пяти наблюдений, то в обеих гистограммах его соединяют с сосед­
ним интервалом. После этого определяют число степеней свободы
v = m-1-r, где m — общее число интервалов. Если было произведено укрупнение, то m — число интервалов после укрупнения;

• по формуле (8.1) определяют показатель разности частот ;

• выбирают уровень значимости критерия q. Он должен быть
небольшим, чтобы была мала вероятность совершить ошибку первого рода. По уровню значимости и числу степеней свободы v по табл. 8.1 находят границу критической области , такую, что . Вероятность того, что полученное значение ² превыша­ет , равна q и мала. Поэтому, если оказывается, что , то гипо­теза о совпадении экспериментального и теоретического законов распределения отвергается. Если же , то гипотеза принимается.

Чем меньше q, тем больше значение (при том же числе сте­пеней свободы v), тем легче выполняется условие прини­мается проверяемая гипотеза. Но при этом увеличивается вероят­ность ошибки второго рода. В связи с этим нецелесообразно при­нимать 0,02 < q < 0,01.

Иногда вместо проверки с односторонней критической областью при­меняют проверки с двусторонними критическими областями. При

этом оценивается вероятность P= q. Уровень значимо­сти критерия q делится на две части: _. Как правило, прини­мают . По табл. 8.1 для P(} = q находят при уровне значимости и числе степеней свободы v и для уровня значи­мости 1 — q₂ и том же n. Гипотеза о совпадении распределений принимается, если .

Однократные измерения

Прямые многократные измерения в большей мере относятся к лабораторным измерениям. Для производственных процессов бо­лее характерны однократные измерения. Однократные прямые из­мерения являются самыми массовыми и проводятся, если: при из­мерении происходит разрушение объекта измерения, отсутствует возможность повторных измерений, имеет место экономическая целесообразность. Эти измерения возможны лишь при определен­ных условиях:

• объем априорной информации об объекте измерений такой,
что модель объекта и определение измеряемой величины не вызы­
вают сомнений;

• изучен метод измерения, его погрешности либо заранее устра­
нены, либо оценены;

• средства измерений исправны, а их метрологические характе­
ристики соответствуют установленным нормам.

За результат прямого однократного измерения принимается полученная величина. До измерения должна быть проведена апри­орная оценка составляющих погрешности с использованием всех доступных данных. При определении доверительных границ по­грешности результата измерений доверительная вероятность при­нимается, как правило, равной 0,95.

Методика обработки результатов прямых однократных измере­ний приведена в рекомендациях МИ 1552—86 "ГСИ. Измерения прямые однократные. Оценивание погрешностей результатов изме­рений". Данная методика применима при выполнении следующих условий: составляющие погрешности известны, случайные состав­ляющие распределены по нормальному закону, а неисключенные систематические, заданные своими границами — равномерно.

Составляющими погрешности прямых однократных измерений являются:

• погрешности СИ, рассчитываемые по их метрологическим ха­рактеристикам;

• погрешность используемого метода измерений, определяемая на основе анализа в каждом конкретном случае;

• личная погрешность, вносимая конкретным оператором.

Если последние две составляющие не превышают 15% погреш­ности СИ, то за погрешность результата однократного измерения принимают погрешность используемого СИ. Данная ситуация весьма часто имеет место на практике.

Названные составляющие могут состоять из неисключенных систематических и случайных погрешностей. При наличии не­скольких систематических погрешностей, заданных своими гра­ницами ±либо доверительными границами ±(Р), доверитель­ная граница результата измерения соответственно может быть рассчитана по формуле

или

где — доверительная граница i-й неисключенной система­тической погрешности, соответствующая доверительной вероят­ности — коэффициент, зависящий от и определяемый так же, как и коэффициент k; k = k(m,P) — коэффициент, равный 0,95 при Р= 0,9 и 1,1 при Р = 0,95. При других доверительных вероятностях он определяется в соответствии с ГОСТ 8.207-76.

Случайные составляющие погрешности результата измерений выражаются либо своими СКО , либо доверительными граница­ми . В первом случае доверительная граница случайной со­ставляющей погрешности результата прямого однократного изме­рения определяется через его СКО :

где — точка нормированной функции Лапласа, отвечающей вероятности Р. При Р = 0,95 = 2. Если СКО определены экспериментально при небольшом числе измерений (n < 30), то в данной формуле вместо коэффициента следует коэффициент Стьюдента, соответствующий числу степеней сво­боды i-й составляющей, оценка которой произведена при наи­меньшем числе измерений.

В случае, когда случайные погрешности представлены довери­тельными границами соответствующими разным довери­тельным вероятностям доверительная граница случайной по­грешности результатов прямых однократных измерений

.

Найденные значения и используются для оценки по­грешности результата прямых однократных измерений. В зави­симости от соотношения и суммарная погрешность определя­ется по одной из формул, приведенных в табл. 8.2.

Значения коэффициента приведены в табл. 8.3.

Таблица 8.2

Формулы для расчёта погрешности результата

прямых однократных измерений

Значения	Погрешность результата измерения

Таблица 8.3

Значение в зависимости от отношения при доверительной вероятности 0,95

	0,8
	0,76	0,74	0,71	0,73	0,76	0,78	0,79	0,80	0,81

Кроме изложенного метода, суммирование случайных и систематических составляющих может производится и другими методами.

Результат прямых однократных измерений должен записываться в соответствии с рекомендациями МИ 1317-86 в виде при доверительной вероятности

Выше были рассмотрены прямые однократные измерения с точным оцениваем погрешностей, наиболее детально они проана лизированы в [3]. В практике также имеют место прямые одно­кратные измерения с приближенным оцениванием погрешности. Для них характерно оценивание погрешности полученного резуль­тата на основе метрологических характеристик, приведенных в нормативно-технической документации на используемые средства измерений. Поскольку эти характеристики относятся к любым экземплярам данного типа СИ, то у конкретного используемого средства действительные метрологические характеристики могут отличаться от нормированных.

Прямые однократные измерения с приближенным оценивани­ем погрешностей правомочны, если доказана возможность пренеб­режения случайной составляющей погрешности измерения, т.е. можно обосновано считать, что среднее квадратическое отклоне­ние случайной составляющей меньше 1/8 суммарной границы неисключенных систематических составляющих погрешности ре­зультата измерения.

В простейшем случае, когда влияющие величины соответствуют нормальным условиям, погрешность результата прямого однократно­го измерения равна пределу основной погрешности средства измерения , определяемой по нормативно-технической документации. Резуль­тат измерения запишется в виде .Доверительная вероятность не указывается, но, как правило, подразумевается, что она равна 0,95. При проведении измерений в условиях, отличных от нормальных» не­обходимо определять и учитывать пределы дополнительных погрешно­стей. Возможная методика суммирования основных и дополнитель­ных погрешностей однократных измерений приведена в [3].

Пример 8.1. Оценить погрешность результата однократного измерения на­пряжения U = 0,9 В на сопротивлении R = 4 Ом, выполненного вольтметром класса точности 0,5 с верхним пределом измерения 1,5 В а внутренним сопротивлением =1000 Ом. Известно, что дополнительные погрешности по­казаний вольтметра из-за магнитного поля и температуры не превышают соответственно и допускаемой предельной погрешности.

Предел допускаемой относительной погрешности вольтметра на отмет­ке 0,9 В составляет 0,83%. При подсоединении вольтметра исходное напряжение , изменится из-за наличия и составит

Тогда методическая погрешность, обусловленная конечным значением Rv, в относительной форме

Данная погрешность является систематической и должна быть внесена в результат в виде поправки или в абсолютной форме на отметке 0,9 В Тогда результат измерения с учетом поправки = 0,9 + 0,004 = 0,904В.

Поскольку основная и дополнительная погрешности заданы своими гра­ничными значениями, то они могут рассматриваться как неисключенные систематические погрешности и соответственно суммироваться. При довери­тельной вероятности 0,95 доверительная граница неисключенной системати­ческой погрешности

= 1,1В абсолютной фор­ме . Поскольку > q, то окончательный результат измерения записывается в виде = 0,9 В; = ±0,01 В; Р = 0,95.

Косвенные измерения

Косвенные измерения — это измерения, при которых искомое значение Q находят на основании известной зависимости

Q = (8.2)

где — значения, полученные при прямых измерени­ях. По виду функциональной зависимости F они делятся на две основные группы — линейные и нелинейные. Для линейных кос­венных измерений математический аппарат статистической обра­ботки полученных результатов разработан детально. Обработка ре­зультатов косвенных измерений [57] производится, как правило, методами: основанными на раздельной обработке аргументов и их погрешностей; линеаризации; приведения; перебора.

Первые три метода рассматриваются ниже, а четвертый — в [57]. Методика обработки результатов косвенных измерений приведена в документе МИ 2083—90 "ГСИ. Измерения косвен­ные. Определение результатов измерений и оценивание их по­грешностей Косвенные измерения при линейной зависимости между ар­гументами. Линейная функциональная зависимость является про­стейшей формой связи между измеряемой величиной и находимы­ми посредством прямых измерений аргументами. Она может быть выражена формулой

где — постоянный коэффициент i-го аргумента -число аргументов. Погрешности линейных косвенных измерений оцени­ваются методом, основанным на раздельной обработке аргумен­тов и их погрешностей.

Если коэффициенты определяют экспериментально, то на­хождение результата измерения величины Q производится поэтапно. Сначала оценивают каждое слагаемое как косвенно измеряемую величину, полученную в результате произведения двух измеряемых величин, а потом находят оценку измеряе­мой величины Q. Результат косвенного измерения определяют по формуле

где — оценка результата измерений аргумента , получаемая, как правило, посредством обработки результатов многократных прямых измерений каждого из аргументов. При несмещенности и состоятельности результатов полученная оценка результата из­мерения будет также несмещенной и состоятельной. Поскольку дисперсия результата измерения

то, если результаты обладают минимальной дисперсией, т.е, являются эффективными, оценка результата измерения также будет эффективной.

При отсутствии корреляционной связи между аргументами СКО результата косвенного измерения S(), обусловленное случайны­ми погрешностями, вычисляется по формуле

где S— среднее квадратическое отклонение результата изме­рения аргумента , рассчитываемое по формуле (6.10).

При наличии корреляционной связи между аргументами СКО результата косвенного измерения

Здесь — несмещенная оценка коэффициента корреляции меж­ду погрешностями аргументов и :

где , — i-e результаты прямых измерений k-гo и 1-го аргумен­тов; n — число прямых измерений аргументов. Коэффициент кор­реляции может быть рассчитан и по другим формулам, равнознач­ным приведенной.

Корреляция между аргументами чаще всего возникает в тех слу­чаях, когда их измерения проводятся одновременно и подвергаются одинаковому влиянию внешних условий (температуры, влажности, напряжения питающей сети, помех и т.п.). Критерием отсутствия свя­зи между двумя аргументами является выполнение неравенства [48]

где — коэффициент Стьюдента, соответствующий уровню значимости q и числу степеней свободы n-2. Необходимо прове­рить отсутствие корреляционных связей между всеми парными сочетаниями аргументов.

Моделью для распределения результатов измерений отдельных аргументов обычно можно считать случайную величину с нормаль­ным распределением. Для распределений, отличных от нормально­го, распределение среднего арифметического при этом все же мож­но считать нормальным [3]. Случайную погрешность результата косвенного измерения, образующуюся путем сложения случайных погрешностей результатов определения многих аргументов, еще с большим основанием можно считать нормально распределенной случайной величиной. Это дает возможность найти доверитель­ный интервал для значения измеряемой величины.

При большом числе измерений (более 25-30), выполненных при нахождении каждого из аргументов, доверительную границу слу­чайной погрешности результата косвенного измерения можно оп­ределить по формуле

где — квантиль нормального распределения, соответствующий выбранной доверительной вероятности Р.

При меньшем числе измерений для определения доверительного интервала используется распределение Стьюдента, число степеней свободы которого рассчитывается по приближенной формуле [3]

F=,

где — число измерений при определении аргумента . В этом случае при условии, что распределение погрешностей результатов измерения аргументов не противоречит нормальному распределе­нию, доверительная граница случайной погрешности результата косвенного измерения

где — коэффициент Стьюдента, соответствующий доверитель­ной вероятности P=l-q и числу степеней свободы f.

Систематическая погрешность результата косвенного измерения определяется систематическими погрешностями результатов измере­ний аргументов. При измерениях последние стремятся исключить. Однако полностью это сделать не удается, всегда остаются неисклю­ченные систематические погрешности, которые рассматриваются как реализации случайной величины [57], имеющей равномерное рас­пределение. Такое предположение приводит обычно к достаточно осто­рожным заключениям о погрешности результатов косвенных измере­ний.

Доверительные границы неисключенной систематической по­грешности результата линейного косвенного измерения (Р) в слу­чае, если неисключенные систематические погрешности аргумен­тов заданы границами , вычисляют по формуле

(8.4)

где k — поправочный коэффициент, определяемый принятой дове­рительной вероятностью Р и числом m составляющих Его зна­чения приведены в табл. 8.4. Погрешность от применения этих усредненных коэффициентов не превышает 10% [57].

Таблица 8.4

Значения коэффициента к при m>4

P	0,90	0,95	0,98	0,99
k	0,95	1,1	1,3	1,4

Если число суммируемых слагаемых m < 4 и они значительно различаются между собой, то значение коэффициента k определяется по табл. 8.5. Под L здесь понимают отношение наибольшей длины интер­вала одного из слагаемых к длине остальных слагаемых.

Если границы неисключенных систематических погрешно­стей результатов измерений аргументов заданы их доверительны­ми границами , соответствующими вероятностям , то гра­ницу определяют по формуле

Таблица 8.5

L	P=0,98	P=0,99
m=2	m=3	m=4	m=2	m=3	m=4
	1,22	1,28	1,30	1,28	1,38	1,41
	1,16	1,23	1,26	1,22	1,31	1,36
	1,11	1,17	1,20	1,16	1,24	1,28
	1,07	1,12	1,15	1,12	1,18	1,22
	1,05	1,09	1,12	1,09	1,14	1,18

Значения коэффициента к при m=2,3,4 Коэффициенты определяются так же, как поправочный коэффициент к.

Суммарная погрешность результата косвенного измерения оценивается на основе композиции распределений случайных и неисключённых систематических погрешностей. Формулы для её расчёта в зависимости от соотношения границ неисключённой систематической составляющей и СКО случайной составляющей погрешности приведены в табл. 8.6.

Таблица 8.6

Погрешность результата косвенных измерений

Значение	Погрешность результата измерения
0,8

Коэффициент определяется по табл.8.7.

Результат косвенных измерений должен записываться в виде при доверительной вероятности P.

Косвенные измерения при нелинейной зависимости между аргументами. Для обработки результатов измерений при нелинейных зависимостях между аргументами некоррелированных погрешностях используется метод линеаризации. Он состоит в том, что нелинейная функция, связывающая измеряемую величину с аргументами разлагается в ряд Тейлора:

Таблица 8.7

Зависимость от отношения при различной доверительной вероятности

	0,5	0,75
	0,81	0,77	0,74	0,71	0,73	0,76	0,78	0,79	0,80	0,81
	0,87	0,85	0,82	0,80	0,81	0,82	0,83	0,83	0,84	0,85

(8.5)

Здесь — первая частная производная от функции f по аргу­менту , вычисленная в точке — отклонение результата измерения аргумента от его среднего арифметиче­ского; — остаточный член:

Метод линеаризации применим, если остаточным членом мож­но пренебречь. Это возможно в том случае, если

где S()— СКО случайной погрешности результата измерений аргумента . При необходимости результаты косвенных измере­ний можно уточнить, используя члены ряда Тейлора более высо­кого порядка. Эти вопросы детально рассмотрены в [57].

Оценка результата определяется по формуле

(8.6)

Абсолютная погрешность косвенного измерения , как это следует из уравнения (8.5), равна

где — коэффициенты влияния i-го аргумента; -абсолютная погрешность измерения 1-го аргумента; - частная i-я погрешность определения результата косвенного из­мерения.

Пример 8.2. Разложить в ряд Тейлора уравнение для определения плот­ности и получить выражение для расчета абсолютной погрешности.

Плотность твердого тела определяется как отношение результата из­мерения его массы m к объему V. При этом в соответствии с (8.5) получаем выражение

где в скобках стоит остаточный член. Учитывая, что

окончательно получим

Абсолютная погрешность

Коэффициенты влияния чаще всего определяются путем под­становки в выражения для частных производных оценок . По­этому вместо самих коэффициентов влияния получаются их оцен­ки. В ряде случаев они устанавливаются экспериментально, что приводит к возникновению еще одной погрешности нелинейных косвенных измерений. Этой погрешности можно избежать, если зависимость (8.1) имеет вид

Тогда коэффициенты влияния

Оценка измеряемой величины находится по (8.6), (8.7), а ее отно­сительная погрешность с учетом последних формул определяется как

Из полученной формулы видно, что коэффициенты влияния для относительной погрешности оказываются равными показателям сте­пеней соответствующих аргументов. Последние известны точно, и отмеченная выше погрешность не возникает. Для рассмотренного выше примера измерения плотности тела имеем

Оценка СКО случайной погрешности результата косвенного из­мерения

(8.8)

При точно известных коэффициентах влияния оно совпадает с уравнением (8.3), полученным для линейных косвенных измере­ний. Для зависимости вида (8.7) данная оценка, представленная в относительной форме, запишется в виде

где — оценка СКО i-го аргумента, представлен­ная в относительной форме.

Доверительные границы случайной погрешности результата при нормально распределенных погрешностях измерений аргументов вычисляются так же, как и для линейных косвенных измерений, при условии, что вместо коэффициентов в формулах подставля­ются коэффициенты влияния . Аналогичным образом поступа­ют при определении границ неисключенной систематической по­грешности. Погрешность результата нелинейных косвенных измерений оценивается так же, как и при линейных измерениях Метод приведения. Он используется для определения результа­тов косвенного измерения и его погрешности при наличии корреля­ции между погрешностями измерений аргументов. Метод можно также применять при неизвестных распределениях погрешностей аргументов. Он предполагает наличие ряда согласованных результа­тов измерений аргументовполученных в процессе многократ­ных измерений. Согласованность результатов измерений означает либо одновременное их осуществление, либо то, что они выполнены над одним и тем же объектом и в одних и тех же условиях.

Метод основан на приведении отдельных значений косвенно изме­ряемой величины к ряду простых измерений. Получаемые сочетания отдельных аргументов подставляют в формулу (8.6) и вычисляют отдельные значения измеряемой величины

Результат косвенного измерения и СКО его случайной по­грешности вычисляются по формулам

Доверительные границы случайной погрешности результата из­мерения рассчиталваются по формуле , где Т — коэффи­циент, зависящий от вида распределения отдельных значений оп­ределяемой величины и выбранной доверительной вероятности. При нормальном распределении отдельных значений измеряемой величины доверительные границы случайных погрешностей вы­числяются по методике для прямых многократных измерений, из­ложенной в ГОСТ 8.207-76.

Границы неи

Дата добавления: 2014-01-20