Средние величины. Степенные средние

Средняя величина - это обобщающий показатель, выражающий действие общего и необходимого, закономерность развития явления.

Средняя величина только тогда будет объективно отражать типичные свойства изучаемого явления, если исчисляется на основе массовых данных о качественно однородной совокупности. Средняя сглаживает различия в величине признака, зависящие от нескольких факторов, и отражает общее свойство всей совокупности.

Например, заработная плата одного работника на предприятии может зависеть от объемов выполненных работ, квалификации работника, стажа работы, качества работы и других факторов. Средняя заработная плата одного работника будет учитывать различные влияния этих факторов и покажет общий уровень зарплаты работника на предприятии, сложившийся в результате воздействия всех факторов.

Характеристика средней величины:

1. Это абстрактная величина, так как абстрагируется от конкретных значений признака у отдельных объектов. В ней сочетаются и единичные характеристики, и общие свойства однородной совокупности, складывающиеся в индивидуальных явлениях.

2. Это типичное для данной совокупности значение - обычное, нормальное, сложившееся в целом, потому что формируется в общих, обычных для совокупности условиях.

3. Средняя величина имеет тот же измеритель, что и изучаемый признак.

Для решения различных задач используются разные виды средних величин. Общей основой для всех формул расчета средних, характеризующих уровень явления, является формула степенной средней. Но существуют также средние величины, отражающие структурные характеристики статистической совокупности – структурные средние. В данном параграфе рассматриваются теоретические основы по расчету степенных средних величин.

Формула степенной средней величины выглядит следующим образом

_z ∑x ^z

х_со. = √ ———

n

где х – осредняемый признак;

z – показатель степени;

n – численность единиц совокупности.

При z = 1 получается средняя арифметическая;

При z = 0 – средняя геометрическая;

При z = -1 – средняя гармоническая;

При z = 2 – средняя квадратическая.

Осредняемым признаком называется признак, по которому находится средняя величина. Он обозначается х. Величина осредняемого признака по каждой единице совокупности называется индивидуальным значением признака или вариантом и обозначается х₁, х₂, х₃,..., х _n.

Повторяемость индивидуальных значений признака называется частотой и обозначается буквой f.

Если одно и тоже значение признака в совокупности не повторяется, то используется формула простой арифметической средней:

∑ х_i

х_ср = ———

n

Например, у четырех продавцов магазина стаж на данном предприятии составляет: у первого продавца - 5 лет, у второго - 3, у третьего - 8, у четвертого - 4 года. Средний стаж работы одного продавца исчисляется по формуле простой арифметической средней:

5 + 3 + 8 + 4

—————— = 5 лет

Простая средняя используется для расчета средних уровней ряда динамики. Например, имеются данные о цене продукта за три года. Средняя цена определяется путем деления суммы цен за три года на три.

Простая средняя рассчитывается для простой совокупности. Для сложной совокупности, состоящей из нескольких составных частей (групп), различающихся по какому-либо признаку, следует использовать формулу средней арифметической взвешенной. Взвешенная средняя отражает сложное строение совокупности.

∑x_i f_i

х _ср. = ———

∑ f_i

Операция умножения x на f называется операцией взвешивания. Операция взвешивания должна иметь определенный экономический смысл, то есть приводить к осмысленному результату.

Например, необходимо определить среднюю цену продукта, сложившуюся в течение одного года по нескольким местам продаж. В этом случае следует учитывать, что в разных местах продукт продавался не только по разным ценам, но и с различными объемами продаж (Табл. 4.2). Средняя цена – это средняя стоимость одной единицы товара:

Общая стоимость всех единиц товара

Средняя цена = ———————————————

Количество единиц товара

Чтобы найти среднюю цену товара по трем рынкам города, надо знать общую стоимость проданного товара по всем рынкам. Для этого все объемы продаж суммируются. Разделив общий объем продаж на количество проданного товара, получим среднюю цену единицы товара.

Таблица 4.2

Расчет средней цены товара

Показатели	Рынок 1	Рынок 2	Рынок 3
Количество проданного товара (fi), шт
Средняя цена товара (xi), руб. за штуку
Объем продаж (xi fi), руб

∑x_i f_i 240 + 284 + 225

Средняя цена товара по трем рынкам = ——— = —————— = 74,9 руб.

∑ f_i 3 + 4 + 3

В числителе каждый из слагаемых можно представить в виде произведения средней цены товара на отдельном рынке (осредняемый признак) на количество продаж в штуках (вес). Тогда явно проявляется, что используемая формула для вычисления средней имеет вид средней арифметической взвешенной:

80*3 + 71*4 + 75*3 ∑x_i f_i

Средняя цена товара по трем рынкам = ———————— = ———

3 + 4 + 3 ∑ f_i

В вариационном ряду, в котором одно значение признака повторяется с частотой f, средняя величина исчисляется по формуле средней взвешенной. Частоты здесь являются весами. Исчислим средний разряд одного рабочего по данным, представленным в таблице 4.3.

х¯= ∑x f / ∑ f; то есть х¯= 444: 100 = 4 (разряд)

Таблица 4.3

Расчет среднего тарифного разряда рабочих в дискретном ряду распределения

Тарифный разряд, х	Количество рабочих, f	x f
Итого

Зачастую бывает, что веса напрямую неизвестны, а представлены лишь сомножителем в одном из имеющихся показателей, который находятся путем деления этого показателя на другой известный сомножитель. В этом случае для расчета средней величины используют формулу гармонической средней.

n

x_h = ———

∑ (1/ x)

Например, три автомобиля доставляли грузы до трех пунктов назначения, находящихся на одинаковом расстоянии от места отправления, с различной скоростью вследствие разного качества дорог.

Скорость первого автомобиля составляла 50 км/час, второго - 40 км/час, третьего - 30 км/час. Средняя скорость автомобилей исчисляется по формуле:

s

х = ———

t

где s - расстояние, км;

t - время, час.

Как видно из формулы скорость автомобилей при одинаковом расстоянии может различаться только при различном времени прохождения пути. Время каждого автомобиля находится при делении расстояния на скорость:

s s s

t₁ = —; t₂ = —; t₃ = ——

x₁ x₂ x₃

где x₁, x₂, x₃ - скорости автомобилей.

Общее время, затраченное тремя автомобилями представляет собой сумму:

s s s

t = t₁ + t₂ + t₃ = ── + ── + ──

x₁ x₂ x₃

Подставив значения времени в формулу расчета средней скорости и сократив в числителе и знаменателе общий сомножитель (расстояние) получаем формулу средней гармонической простой:

s₁ + s₂ + s₃ 3 s 3 s

x¯ = ————— = —————— = ————————— =

t₁ + t₂ + t₃ s/ x_{1 +} s/ x_{2 +} s/ x₃ s (1/ x₁ +1/ x₂ +1/ x₃ )

3 3

= ———————— = ——————— = 38 км/час

1/ x₁ +1/ x₂ +1/ x₃ 1/50 + 1/40 + 1/30

В том случае, когда расстояния, на которые перевозятся грузы будут различными, расчет средней скорости движения автомобиля будут вестись по формуле средней гармонической взвешенной:

∑ f _i

x ¯ = ———

f _i

∑ —

x _i

Определение конкретного вида средней величины, которую следует рассчитывать в том или ином случае, осуществляется в результате анализа содержания совокупности. Исчисленная средняя должна иметь реальный экономический смысл. Рассмотрим два варианта расчета среднего процента выполнения планового задания. По первому варианту известны проценты выполнения плана и розничный товарооборот по двум магазинам торговой фирмы (Табл. 4. 4). Средний процент выполнения плана по двум магазинам находится, как известно, путем деления общего фактического товарооборота на общее плановое задание и умножения на 100:

Фактический товарооборот

ВП = ——————————— 100

Плановый товарооборот

Таблица 4.4

Исходные данные для расчета среднего процента выполнения планового задания

№ магазина	Товарооборот по плану, тыс.руб (f)	Процент выполнения плана, % (х)
		106,6
		93,4
Итого		?

Осредняемым признаком "х" здесь является процент выполнения плана, а весом "f"плановый товарооборот. Чтобы рассчитать средний процент при имеющихся данных необходимо сначала найти фактический товарооборот по каждому магазину:

ФТ = ВП * План. товарооборот / 100 или при относительной величине выполнения плана, выраженной в коэффициентах, фактический товарооборот в общем виде может исчисляться по формуле ФТ =x * f

То есть, здесь результат умножения осредняемого признака "х" на его вес f имеет экономический смысл.

Сложив товарооборот по магазинам и разделив его на сумму планового товарооборота ∑.f получаем формулу средней арифметической взвешенной:

∑x f 4600*1,066 + 5200*0,934 4904 + 4857

x¯ = ─── = ─────────────── = ──────── = 0,996 или 99,6%

∑f 9800 9800

Так как, при вычислении средней относительная величина выполнения планового задания взята не в процентах, а в более удобной форме - коэффициентах, результат вычисления следует умножить на 100. В итоге получаем, что средний процент выполнения плана составит 99,6%.

В другом случае, когда известны проценты выполнения плана и фактический товарооборот по каждому магазину, но неизвестны плановые задания, экономический смысл будет иметь обратная операция – деление фактического товарооборота на осредняемый признак, в результате чего получают значения планового задания. Если обозначить фактический товарооборот, как представитель веса буквой f, то операция деления f/x позволит найти по каждому магазину плановый товарооборот

Разделив общий фактический товарооборот (∑f) на сумму плановых заданий по магазинам, найдем средний процент выполнения плана:

∑f 4904 + 4857

x¯ ──── = ─────────── = 0,996 или 99,6 %

f 4904 4857

∑ ─ ──── + ────

x 1,066 0, 934

Как видим, формулы арифметической и гармонической взвешенных средних используются в тех случаях, когда для расчета средней величины необходимо делить итоговые объемные показатели: для расчета средней цены - товарооборот на количество товара в натуральных единицах измерения, для расчета средней урожайности - валовой урожай делится на площадь посева, для расчета средней заработной платы - фонд заработной платы на общую среднесписочную численность работников, для расчета средней выработки - объем продукции на общую среднесписочную численность работников и т.д. Если по имеющимся данным можно определить напрямую объемный показатель знаменателя в формуле расчета средней величины, а числитель находится путем умножения осредняемого признака на его веса, применяется формула арифметической взвешенной средней. В тех случаях, когда знаменатель может быть найден только косвенным путем - деления одного из объемных показателей на осредняемый признак - применяется формула гармонической взвешенной средней.

Для вычисления средней величины относительных показателей динамики используется формула средней геометрической:

Хq = ⁿ √ К _{баз n} = ⁿ √ X₁ * X₂ * X₃ *..., X_n

где n – число периодов (моментов) времени в ряду динамики;

К _{баз n} - базисный коэффициент роста в n-м периоде; К _{баз n} = Х₁, Х₂, Х₃,…, X_n

Х₁, Х₂, Х₃,…, X_n – цепные коэффициенты роста.

Например, предположим, что Иванов в начале года положил в банк определенную сумму денег под 10% годового дохода. К концу года его сумма денег увеличится за счет начисленных процентов в 1,1 раза, к концу второго года - еще в 1,1 раза, и к концу третьего года она увеличиться по сравнению с начальным вкладом в 1,1 ³ раз. Теперь представим, что нам неизвестно, но хотелось бы найти во сколько раз ежегодно в среднем возрастал первоначальный вклад Иванова. Для этого необходимо вычислить корень 3-ой степени из 1,1 ³. В этом случае осредняемым признаком является коэффициент роста вклада за каждый год.

Если темпы роста показателя каждый год разные, предполагается, что их можно заменить на средние темпы роста. Так как, произведение фактических темпов роста равно произведению средних,(свойство средней геометрической), корень n-й степени из произведения n сомножителей дает в обоих случаях средний темп роста.

Дата добавления: 2014-01-20