Определение деформаций и перемещений

Для растяжения (сжатия) справедлив закон Гука:

σ = Е ·e (опытная зависимость), где:

Е – модуль продольной упругости (модуль упругости первого рода), зависит от материала (определяется по справочной литературе), например для стали Е = 2·10⁵ Н/мм²= 2·10¹¹Н/м²;

e = D l / l - продольная деформация, D l - изменение длины элемента конструкции, если со знаком «+» - удлинение, если со знаком «-» - укорочение. Существует также поперечная деформация e^′=DS / S, т.е. отношение изменения размера (площади) DS = S - S₁ поперечного сечения к его первоначальному значению S); Между e и e^′ существует зависимость: e^′= - m · e, где m = ½ e^′/ e ½ - коэффициент Пуассона, характеризующий способность материала к поперечной деформации. Коэффициент изменяется в пределах 0 £ m £ 0,5. m = 0,00 для пробкового дерева, m = 0,47 – для каучука; m = 0,5 – для парафина.

Зная, закон Гука, а также что e = D l/l, а σ = N / S, можно получить формулу для определения абсолютного удлинения (укорочения) стержня D l:

D l = e · l = (σ · l) /Е = (N · l) / (Е · S), т.е. , где произведение Е·S характеризует жесткость сечения.

Таким образом, абсолютное удлинение (укорочение) бруса D l прямо пропорционально N, l и обратно пропорционально жесткости сечения бруса Е·S. Абсолютное удлинение бруса, состоящего из нескольких участков, имеющих различную длину, площадь, материал, нагрузку определяется как сумма удлинений этих участков: D l= ∑ D l_i.

Для наглядного представления возникающих в стержне деформации, строят эпюру удлинений D l (эпюру перемещений поперечных сечений стержня λ).

Построение эпюры D l начинается от жёсткой заделки, т.к. перемещение в жёсткой заделке равно нулю. Например (Рис.6в): Перемещение точки А: λ_А = 0;

Перемещение точки В равно удлинению участка АВ: λ_В = D l_АВ=N₂l / ЕS=

= (- 20·10³·0,1) /2·10¹¹·1·10 ^{– 4}=-0,1· 10 ^{- 4}м = - 0,1· 10 ^{- 4} ·10 ³= - 0,01 мм

Перемещение точки С определяется как: λс = λ_В + D l_ВС =- 0,01 + N₁l / ЕS= - 0,01 + ((20·10³·0,2) /2·10¹¹·1·10 ^{– 4}) ·10 ³ =-0,01 + 0,02 = 0,01 мм

Дата добавления: 2014-01-11