Лемма о первообразных

Если F₁(x) и F₂(x) – две первообразные для функции f(x) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу.

Из этой теоремы следует, что если известна какая-нибудь первообразная F(x) данной функции f(x), то всё множество первообразных для f(x) можно записать в виде F(x)+C.

Выражение F(x)+C, где F(x) – первообразная функции f(x) и С – произвольная постоянная, называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом , причём f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением,

х – переменной интегрирования; – знак неопределённого интеграла.

Таким образом, по определению

если .

Возникает вопрос: для всякой ли функции f(x) существует первообразная, а значит, и неопределённый интеграл?

Свойства неопределённого интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого

или

где С – произвольное число

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

где k – некоторое число.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций

Дата добавления: 2014-01-11