Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений

ЛЕКЦИЯ 4

Лекции по математическим моделям в биологии

Г.Ю.Ризниченко.

Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Метод изоклин. Главные изоклины. Устойчивость стационарного состояния. Линейные системы. Типы особых точек: узел, седло, фокус, центр. Пример: химические реакции первого порядка.

Наиболее интересные результаты по качественному моделированию свойств биологических систем получены на моделях из двух дифференциальных уравнений, которые допускают качественное исследование с помощью метода фазовой плоскости. Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида

(4.1)

P(x,y), Q(x,y) - непрерывные функции, определенные в некоторой области G евклидовой плоскости (x,y ‑ декартовы координаты) и имеющие в этой области непрерывные производные порядка не ниже первого.

Область G может быть как неограниченной, так и ограниченной. Если переменные x, y имеют конкретный биологический смысл (концентрации веществ, численности видов) чаще всего область G представляет собой положительный квадрант правой полуплоскости:

0£ x< ¥, 0 £ y < ¥.

Концентрации веществ или численности видов также могут быть ограничены сверху объемом сосуда или площадью ареала обитания. Тогда область значений переменных имеет вид:

0 £ x < x₀, 0 £ y< y_{0 .}

Переменные x, y во времени изменяются в соответствии с системой уравнений (4.1), так что каждому состоянию системы соответствует пара значений переменных (x, y).

Рис. 4.1.

Изображающая точка на фазовой плоскости

Обратно, каждой паре переменных (x, y) соответствует определенное состояние системы.

Рассмотрим плоскость с осями координат, на которых отложены значения переменных x,y. Каждая точка М этой плоскости соответствует определенному состоянию системы. Такая плоскость носит название фазовой плоскости и изображает совокупность всех состояний системы. Точка М(x,y)называется изображающей или представляющей точкой.

Пусть в начальный момент времени t=t ₀ координаты изображающей точки М ₀(x (t ₀), y (t ₀)). В каждый следующий момент времени t изображающая точка будет смещаться в соответствии с изменениями значений переменных x (t), y (t). Совокупность точек М (x (t), y(t)) на фазовой плоскости, положение которых соответствует состояниям системы в процессе изменения во времени переменных x(t), y(t) согласно уравнениям (4.1), называется фазовой траекторией.

Совокупность фазовых траекторий при различных начальных значениях переменных дает легко обозримый "портрет" системы. Построение фазового портрета позволяет сделать выводы о характере изменений переменных x, y без знания аналитических решений исходной системы уравнений (4.1).

Для изображения фазового портрета необходимо построить векторное поле направлений траекторий системы в каждой точке фазовой плоскости. Задавая приращение Dt>0, получим соответствующие приращения Dx и Dy из выражений:

Dx=P(x,y) Dt,

Dy=Q(x,y) Dt.

Направление вектора dy/dx в точке (x, y) зависит от знака функций P(x, y), Q(x, y) и может быть задано таблицей:

P(x,y)>0, Q(x,y)>0
P(x,y)<0, Q(x,y)<0
P(x,y)>0, Q(x,y)<0
P(x,y)<0, Q(x,y)>0

Задача построения векторного поля упрощается, если получить выражение для фазовых траекторий в аналитическом виде. Для этого разделим второе из уравнений системы (4.1) на первое:

. (4.2)

Решение этого уравнения y = y (x, c), или в неявном виде F (x,y) =c, где с – постоянная интегрирования, дает семейство интегральных кривых уравнения (4.2) ‑ фазовых траекторий системы (4.1) на плоскости x, y.

Дата добавления: 2014-01-20