Решение задачи методом конечных разностей

Нанесем на пространственно-временную область прямоугольную сетку. Пронумеруем узлы сетки: – номер узла по толщине стены (ось ); – номер узла по времени (ось ). Таким образом, каждый узел сетки имеет номер, состоящий из двух компонент . В свою очередь, каждый узел сетки имеет координаты .

Введем обозначения: – шаг по времени; – шаг по длине,

; ; (3.5.4)

; ; (3.5.5)

(3.5.6)

В зависимости от типа разностной схемы для решения задачи теплопроводности различаются явная схема и неявная схема, каждая из которых имеет свои преимущества и недостатки.

Явная схема. Заменим в дифференциальном уравнении задачи (3.5.1) для внутренних точек области производные конечно-разностными отношениями. Начальные и краевые условия будем рассматривать в граничных узлах сетки.

(3.5.7)

Рис. 3.5.3. Шаблон аппроксимации явной схемы.

В результате конечно-разностной аппроксимации получаем в каждой точке сетки одно неизвестное и одно условие (граничное или разностное уравнение). Первую формулу можно переписать в виде

, . (3.5.8)

Таким образом (рис. 3.5.3), по этой формуле имея значения для всех , можно вычислить значения для всех (без решения уравнений).

При решении по явной схеме следует учитывать фактор устойчивости счета, который накладывает ограничение на величину шага по времени в зависимости от величины шага по :

– условие устойчивости. (3.5.9)

Нарушение условия устойчивости приводит к неправильному результату. Это ограничение весьма существенно при необходимости решения задачи для большого периода времени.

Заметим, что условие устойчивости, как правило, получается из дополнительных аналитических оценок и носит достаточно общий характер для широкого класса задач.

Приведем ниже матричную запись явной схемы.

Явная схема (3.5.7) может быть представлена в виде

, ;

, ; , .

Введем следующие матрицы и векторы

; ; (3.5.10)

, , , (3.5.11)

Тогда явная схема представима в матричной записи

, , (3.5.13)

при этом . (3.5.14)

Неявная схема. Существует конечно-разностная аппроксимация, счет по которой не требует выполнения условия устойчивости (рис. 3.5.4).

(3.5.15)

Рис. 3.5.4. Шаблон аппроксимации неявной схемы.

Как видно из записи, аппроксимация второй производной по осуществляется для точек -го момента времени.

Первую формулу можно переписать в виде

, . (3.5.16)

Следовательно, если все величины известны, то величины

получаем из решения системы уравнений (3.5.16) с учетом краевых условий:

; . (3.5.17)

Таким образом, начиная с использования начальных условий

, , (3.5.18)

последовательно получаем значения неизвестных для всех -ых моментов времени.

Преимущество неявной схемы состоит в том, что она устойчива при любом шаге по времени. Недостатком метода является необходимость решения системы уравнений на каждом шаге по времени.

Приведем ниже матричную запись неявной схемы.

Неявная схема (3.5.15) может быть представлена в виде

, ;

, ; , . (3.5.19)

С учетом принятых ранее обозначений (3.5.10), (3.5.11) матрично-векторное представление вышеприведенной системы разностных уравнений (3.5.19) будет иметь вид

, (3.5.20)

здесь – единичная матрица -го порядка,

; (3.5.21)

Обозначим:

(3.5.22)

Тогда матричная запись решения на каждом шаге по времени по неявной схеме может быть представлена в виде

(3.5.23)

при этом . (3.5.24)

Таким образом, на каждом шаге по времени либо необходимо решать СЛАУ -го порядка, либо использовать умножение на матрицу .

Нестационарная задача теплопроводности

Задание.

Определить по явной схеме распределение температуры по толщине стены методом конечных разностей по явной схеме.

(Л3.5.1)

Варианты задания.

– функция, характеризующая мощность источника тепла;

– коэффициент температуропроводности материала стены,

– краевые условия;

– начальные условия;

– толщина стены; – номер группы, – номер студента по журналу.

Принять для расчета на ЭВМ число точек по толщине стены и количество шагов по времени , для ручного счета – , .

Дата добавления: 2014-01-20