Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области

Так же, как в случае функции одной переменной, заданной на отрезке, функция двух переменных, заданная в замкнутой области, достигает своих наибольшего и наименьшего значений либо в критических точках, лежащих в заданной области, либо в граничных точках области. Трудность этого случая в том, что у области на плоскости, имеется бесконечное множество граничных точек.

П р и м е р. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

в треугольнике, образованном прямыми .

Прежде всего, найдем критические точки заданной функции, решив систему

Данная система имеет единственное решение, и мы получаем критическую точку (1,0). Эта точка лежит внутри заданной области, поэтому мы вычисляем в этой точке значение функции: .

Теперь переходим к граничным точкам. Заданная область имеет 3 прямолинейных граничных участка: 1) , 2) ,

3) .

На участке 1) . Функция на отрезке [-2,2] принимает наибольшее значение, равное 6, в точке 2 (конец отрезка), и наименьшее значение, равное -1/4, в критической точке -1/2.

На участке 2) ,

. Функция принимает на отрезке [0,2] наибольшее значение, равное 2, в точке 0 (конец отрезка), и наименьшее значение, равное -1/4, в критической точке 3/2.

На участке 3) ,

. Функция принимает на отрезке [0,2] наибольшее значение, равное 6, в точке 0 (конец отрезка), и наименьшее значение, равное -3/4, в критической точке 3/2.

Получив значения в критической точке и наибольшие и наименьшие значения на отрезках границы (-1, 6, -1/4, 2, -3/4), мы выбираем среди них наибольшее и наименьшее. Это значения 6 (наибольшее значение данной функции в заданном треугольнике) и -1 (наименьшее значение данной функции в заданном треугольнике). Трехмерное изображение соответствующей поверхности выглядит следующим образом.

Дата добавления: 2014-01-20