Нормальный (Гаусовский) закон распределения НСВ

Для нормального закона – плотность распределения имеет вид:

,

где и - параметры распределения.

Для данного закона выполняются свойства плотности распределения, а именно:

1) ;

2) .

Можно так же показать, что:

3) - симметрична относительно прямой ;

4) , при ;

5) имеет максимум в точке ;

6) - абсциссы точек перегиба.

7) Эти свойства определяют вид графика плотности распределения нормального закона:

Числовые характеристики нормального закона

1) Можно показать, что математическое ожидание есть:

.

2) В силу вида графика плотности распределения(медиана и мода равны ).

3) Можно показать, что.

4) .

5)

6)

Отсюда следует, что параметрами нормального закона являются - математическое ожидание и - среднее квадратическое отклонение НСВ. Если параметры заданы, то закон нормального распределения определен полностью.

Рассмотрим влияние изменения параметров и на закон распределения.

1. При изменении параметра график плотности распределения не изменится, а только сдвинется по оси .

1. При изменении параметра - расстояние между точкой максимума и точкой перегиба меняется, т.е. меняется «широта» графика.

, т.е. при уменьшении график вытягивается вверх.

Для определения функции распределения для нормального закона необходимо вычислить интеграл:

.

Этот интеграл в элементарных функциях не выражается. Существуют специальные таблицы функции распределения нормального закона при фиксированных значениях и , т.е. для функции распределения следующего вида:

,

называемой нормированной функцией Лапласа.

Сама случайная величина при и называется также нормированной. Ее функцию распределения обозначают буквой , а соответствующую плотность распределения - . Для функции имеются таблицы нормального распределения, при этом можно показать, что- нечетная функция.

Если случайная величина определяется для других значений и (и ), то для того чтобы воспользоваться таблицами при вычислении нужно сделать замену переменных , тогда:

.

Если решается задача нахождения вероятности того, что нормально распределенная НСВ заключена в заданном промежутке , то:

.

Если требуется найти вероятность того, что отклонение нормально распределенной величины от параметра не превосходит по модулю некоторого числа , то тогда очевидно, что:

Обычно выражают в долях , т.е. , тогда: .

В частности по таблицам можно посчитать:

Это означает, что на интервал приходится соответственно 68,3%; 95,4% и 99,7% от всей площади, расположенной между кривой распределения и осью абсцисс.

Другими словами, лишь в 0,27% наблюдений случайная величина отклоняется от более чем на .

Такие события можно считать практически невозможными. Поэтому для нормального закона используется «правило трех сигм»: практически достоверно, что случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения, отклонится от не более чем на .

Дата добавления: 2014-01-20