Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Нормальный (Гаусовский) закон распределения НСВ




Для нормального закона – плотность распределения имеет вид:

,

где и - параметры распределения.

Для данного закона выполняются свойства плотности распределения, а именно:

1) ;

2) .

Можно так же показать, что:

3) - симметрична относительно прямой ;

4) , при ;

5) имеет максимум в точке ;

6) - абсциссы точек перегиба.

7) Эти свойства определяют вид графика плотности распределения нормального закона:

 

 

 

 

Числовые характеристики нормального закона

 

1) Можно показать, что математическое ожидание есть:

.

2) В силу вида графика плотности распределения(медиана и мода равны ).

3) Можно показать, что.

4) .

5)

6)

Отсюда следует, что параметрами нормального закона являются - математическое ожидание и - среднее квадратическое отклонение НСВ. Если параметры заданы, то закон нормального распределения определен полностью.

Рассмотрим влияние изменения параметров и на закон распределения.

  1. При изменении параметра график плотности распределения не изменится, а только сдвинется по оси .

  1. При изменении параметра - расстояние между точкой максимума и точкой перегиба меняется, т.е. меняется «широта» графика.

 

 

, т.е. при уменьшении график вытягивается вверх.

Для определения функции распределения для нормального закона необходимо вычислить интеграл:

.

Этот интеграл в элементарных функциях не выражается. Существуют специальные таблицы функции распределения нормального закона при фиксированных значениях и , т.е. для функции распределения следующего вида:

,

называемой нормированной функцией Лапласа.

Сама случайная величина при и называется также нормированной. Ее функцию распределения обозначают буквой , а соответствующую плотность распределения - . Для функции имеются таблицы нормального распределения, при этом можно показать, что- нечетная функция.

Если случайная величина определяется для других значений и (и ), то для того чтобы воспользоваться таблицами при вычислении нужно сделать замену переменных , тогда:

.

Если решается задача нахождения вероятности того, что нормально распределенная НСВ заключена в заданном промежутке , то:

.

Если требуется найти вероятность того, что отклонение нормально распределенной величины от параметра не превосходит по модулю некоторого числа , то тогда очевидно, что:

Обычно выражают в долях , т.е. , тогда: .

В частности по таблицам можно посчитать:

Это означает, что на интервал приходится соответственно 68,3%; 95,4% и 99,7% от всей площади, расположенной между кривой распределения и осью абсцисс.

Другими словами, лишь в 0,27% наблюдений случайная величина отклоняется от более чем на .

Такие события можно считать практически невозможными. Поэтому для нормального закона используется «правило трех сигм»: практически достоверно, что случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения, отклонится от не более чем на .

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 866; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.