Задачи с несколькими целевыми функциями

Лекция

На практике часто требуется найти экстремальные значения нескольких экономических показателей. В этом случае математическая модель имеет несколько целевых функций, причём некоторые из них требуют нахождения максимального, а другие – минимального значений. Поэтому ставится задача нахождения такого компромиссного решения модели, в котором значения всех рассматриваемых экономических показателей были бы приближены к экстремальным значениям.

Данные задачи решаются следующими способами.

1. Производится ранжирование показателей, т. е. расположение их в порядке значимости, важности. Затем приступают к поиску решения, оптимального по наиболее важному из них. Задавшись допустимой величиной изменения первого критерия, ищут решение по второму критерию, наилучшему в полученной области, и т. д. Порядок значимости допустимые диапазоны выбирают произвольно.

2. Построение единого показателя эффективности посредством суммирования произведений имеющихся показателей на «весовые» коэффициенты (коэффициенты важности показателей).

3. Превращение всех целевых функций, кроме одной, в ограничения.

Математическая модель нахождения

Компромиссного решения

Дана математическая модель экономической задачи, в которой две целевые функции и система ограничений линейны. Найдём компромиссное решение по двум показателям, один из которых требует отыскания максимума, а другой – минимума:

при ограничениях:

где L₁, L₂ – значения целевых функций (экономические показатели), - коэффициенты; - переменные.

Решим задачу по каждому показателю в отдельности и найдём оптимальные значения

Проделав преобразования над целевыми функциями, получим математическую модель нахождения компромиссного решения задачи с двумя целевыми функциями:

при ограничениях:

где W – целевая функция; - наибольшее относительное значение экономических показателей.

Определение оптимального выпуска

Продукции при многокритериальных экономических показателях

Фирма выпускает два вида изделий по цене 2 ден. ед. и 3 ден. ед. соответственно. По результатам маркетинговых исследований спрос на изделия второго вида не менее 1 тыс. ед. в год. Для производства изделий используются материалы А и В, запасы которых на фирме составляют 18 и 15 т соответственно. Для изготовления 1 ты. Изделий норма расхода материала А для изделий 1-го вида составляет 3 т, а для изделий 2-го вида – 5 т. Для изготовления 1 тыс. изделий материала В расходуется: для изделий 1-го вида – 5 т, для изделий 2-го вида – 3 т. Себестоимость изделий 1-го вида – 1 ден. ед., а 2-го вида – 2 ден. ед.

Найти оптимальное решение по производству изделий 1-го и 2-го видов, чтобы прибыль и количество выпускаемых изделий были максимальными, себестоимость минимальной.

РЕШЕНИЕ. Обозначим х₁ – количество изделий 1-го вида, тыс. ед.; х₂ – количество изделий 2-го вида тыс. ед.

Математическая модель задачи будет иметь вид

при ограничениях:

Решим задачу по каждой целевой функции в отдельности. Получим

Математическая модель задачи нахождения компромиссного решения:

при ограничениях:

Убрать!!!!!!!!!!
Нелинейное программирование

Дата добавления: 2014-01-11