Некоторые виды случайных событий

Тема

Теория вероятностей.

Теория вероятностей изучает закономерности, проявляющиеся при изучении результатов таких экспериментов, конкретный результат которых до их проведения невозможно с определенностью предсказать.

Пусть некоторый эксперимент, или, согласно терминологии, используемой в теории вероятностей, испытание, может быть, по крайней мере теоретически, проведено в одних и тех же условиях неограниченное количество раз. Результатом каждого испытания является тот или иной его исход, называемый событием. Поскольку в теории вероятностей речь идет о таких испытаниях, исход которых не может быть однозначно предопределен, то соответству­ющие события называют случайными событиями. Например, случайным событием является выпадение цифры 2 при бросании игрального кубика, на гранях которого изображены цифры 1, 2, 3, 4, 5 и 6, наличие (как, впрочем, и отсутствие) некоторого препа­рата в конкретной, наугад выбранной аптеке в данный момент времени. Иными словами, случайное событие — это такое событие, которое в результате испытания может произойти, а может и не произойти. Случайные события принято обозначать большими буквами латинского алфавита: А, В, С, D и т.д.

Определение. Событие называется достоверным в данном испытании, если в результате испытания оно обязательно происходит.

Например, достоверным является событие, состоящее в извлечении наугад упаковки аспирина из ящика, в котором находятся только упаковки аспирина.

Определение. Событие называется невозможным в данном испытании, если оно не может произойти в результате испытания.

Например, невозможным является событие, состоящее в извлечении наугад упаковки аспирина из ящика, в котором находятся только упаковки анальгина.

Строго говоря, как невозможное, так и достоверное события не являются случайными, поскольку их соответственно ненаступ­ление и наступление предопределены условиями испытания.

Любое же из действительно случайных событий, т.е. событий, происходящих в результате испытания не наверняка, по мере возможности своего осуществления находится между событиями невозможными и достоверными.

Определение. Случайные события А,, А₂,..., А_п называются несовместными, если осуществление любого из них в результате испытания исключает осуществление при этом других перечисленных событий.

Например, если событие А, состоит в выпадении цифры / при однократном бросании игрального кубика, событие А₂ — в выпадении цифры 2, и т.д., то события А,, А₂,..., А_в являются несовместными, поскольку осуществление любого из них исклю­чает наступление остальных событий в этом испытании.

Определение. Случайные события А,, А₂,..., А_п называются совместными, если осуществление любого из них в результате испытания не исключает осуществления при этом других из перечисленных событий.

Например, если событие А, состоит в выпадении цифры / при однократном бросании игрального кубика, а событие А₂ — в выпадении нечетного числа очков, то эти два события — совме­стные, поскольку цифра / является нечетным числом.

Определение. Случайное событие В называется благоприятствующим для события А, если при наступлении события В обязательно наступает событие А.

В качестве примера рассмотрим корзину, в которой находятся 10 одинаковых по форме шаров (7 — белого цвета, 3 — красного) с указанными на них номерами от 1 до 10, причем все шары с четными номерами — белые. Из корзины наугад извлекают один шар. При этом событие В, состоящее в извлечении шара с чет­ным номером, является благоприятствующим для события А, со­стоящего в извлечении белого шара, поскольку если в результате испытания извлечен шар с четным номером, то он обязательно белый.

Определение. Элементарными событиями (элементарными исходами) испытания называются все возможные результаты испытания, взаимно исключающие друг друга.

Например, несовместные события А,, А₂,..., A_s, состоящие в выпадении соответственно цифр 1, 2, 3 и т. д. при бросании игрального кубика, представляют собой элементарные события для данного испытания.

Определение. Совокупность случайных событий А, А₂,..., А_п называется полной группой событий для данного испытания, если в результате испытания обязательно происходит только одно из событий этой совокупности.

Например, случайные события, состоящие соответственно в извлечении упаковки анальгина (событие А,), аспирина (событие А₂) и амидопирина (событие А₃), составляют полную группу случайных событий для испытания, в котором из коробки, содер­жащей только такие упаковки, извлекают наугад одну.

Определение. Случайные события А,, А₂,.... А_п называются равновозможными для данного испытания, если не существует никаких объективных причин, вследствие которых какие-либо из этих событий имели большие возможности для осуществления, чем другие.

Например, элементарные события А,, А₂,..., А₆, состоящие в выпадении соответственно цифр 1, 2, 3 и т. д. при бросании игрального кубика, являются равновозможными для данного ис­пытания, поскольку нет никаких оснований с большей уверенно­стью ожидать выпадения какой-либо одной грани игрального кубика, чем любой другой.

Классическое определение вероятности случайного события

Под вероятностью случайного события в математике понимают меру возможности осуществления данного события в конкретных условиях эксперимента (испытания).

Рассмотрим некоторую конечную полную группу равновоз-можных элементарных событий (исходов) В,, В₂,..., В_п, т. е. со­вокупность всех единственно возможных, несовместных и вместе с тем равновозможных результатов некоторого испытания, при­чем пусть интересующее нас случайное событие А осуществляет­ся тогда и только тогда, когда наступают некоторые из элемен­тарных событий указанной полной группы. Пусть таких событий, благоприятствующих для события А, насчитывается т (естественно, т<п). Тогда вероятность события А определяют следующим образом:

Определение. Вероятностью Р(А) случайного события А называется отношение количества т элементарных событий, благо-приятствующих событию А, к общему количеству элементарных событий п:

P^*(A)=m/n

Поскольку в общем случае 0 < т < п, то из этого определения, называемого классическим определением вероятности случайного события, следует, что вероятность произвольного случайного события принадлежит отрезку [0,1], т.е.

0≤ Р(А)≤1

Пример 8.1. Найти вероятность того, что при извлечении наугад одного шара из корзины, в которой находятся 2 белых, 3 зеленых и 5 красных шаров, извлеченный шар окажется зеленым.

Решение. Поскольку общее количество элементарных событий (исходов) для данного испытания образует полную группу из n=10 равновозможных событий (по общему количеству шаров в корзине), из которых только т = 3 элементарных события (по количеству зеленых шаров) являются благоприятствующими для интересующего нас события (обозначим это событие через А), по формуле (8.1) получим:

Р(А)=3/10

Основные свойства вероятности случайного события

1. Вероятность невозможного события равна нулю. Действительно, поскольку количество т элементарных событий, благоприятствующих невозможному событию А, равно нулю, получаем:

Р(А) = 0/п=0

2. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, поскольку количество т элементарных событий, благоприятствующих достоверному событию А, равно общему количе­ству п этих элементарных событий, получаем:

Р(А) = п/ п=1

Дата добавления: 2014-01-20