Формула Бернулли

Бином Ньютона.

Возведение двучлена (бинома) (а + b) в п -ю степень выполняется по формуле, которую приводим без доказательства:

(1)

Формула (1) называется формулой бинома Ньютона, а коэффициенты ее правой части – биномиальными коэффициентами.

При практическом применении теории вероятностей особое значение имеют события, связанные с независимыми повторными испытаниями, для которых:

1) число испытаний n конечное:

2) каждое испытание имеет только два исхода: а) событие А произошло; б) событие А не произошло;

3) все испытания независимы друг от друга, то есть вероятность появления события А в каждом из них не зависит от того, какие результаты наступили или наступят в остальных испытаниях;

4) вероятность появления события А в каждом испытании постоянна.

Приведенные выше условия получили название схемы Бернулли.

Примерами повторных испытаний, описываемых схемой Бернулли, могут служить: многократное подбрасывание монеты или многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета возвращается обратно в урну.

Во многих задачах требуется найти не вероятность каждого отдельного испытания, а вероятность появления события А ровно т раз в данной серии из п испытаний Бернулли, независимо от того, в каких испытаниях оно наступило.

Если при выполнении п повторных независимых испытаний появление события А в каждом отдельном испытании имеет вероятность, равную р (появление противоположного события имеет вероятность q = 1 – р), то вероятность появления события в п испытаниях т раз выражается формулой Бернулли:

(2)

Закон Пуассона.

При определении вероятности того, что в п независимых испытаниях (испытания Бернулли) событие произойдет т раз, используя формулу Бернулли (2). В случае, когда п велико, пользуясь асимптотической формулой Лапласа (Р_п(т_1, т₂)» Ф(х₂) - Ф(х₁) ). Однако эта формула непригодна, если вероятность события мала (р £ 0,1).

При больших n и малых р пользуются асимптотической формулой Пуассона:

Р _п (т) » (3)

где m = пр.

Формулу (3) нередко называют законом Пуассона или законом редких событий.

Дата добавления: 2014-01-20