Сложная функция. Производная сложной функции

Определение. Если является функцией от переменной , , а является функцией от переменной , , то функция

(2.1)

называется сложной функцией от переменной

Сложная функция является результатом наложения, или суперпозиции, функции на функцию .

Рассмотрим примеры сложных функций.

1. . Здесь одна суперпозиция: данную функцию можно записать в виде:

, .

2. . Здесь две суперпозиции: функция может быть представлена в виде:

Установим правило дифференцирования сложной функции (2.1). Справедливо утверждение.

Теорема 2.1. Если функция имеет в некоторой точке производную по переменной , а функция при соответствующем значении имеет производную по переменной , то сложная функция в точке имеет производную, которая равна

(2.1)

где вместо должно быть подставлено выражение .

Доказательство. Дадим в точке переменной малое приращение , тогда переменная при значении , соответствующем значению , получит малое приращение , а функция – малое приращение . Причем, из следует: , а из следует: . Производная функции по переменной равна:

.

Умножим числитель и знаменатель дроби на , и проведем очевидные преобразования:

.

Часто равенство (2.1) записывают в виде:

,

имея в виду запись (2.1).

Проиллюстрируем применение формулы дифференцирования сложной функции к вычислению производных сложных функций.

Задача 2.1. Найти производную функции:

(2.2)

Решение. Функция (2.2) является сложной, содержащая одну суперпозицию:

По формуле (2.1) получаем:

или

(2.3)

Производная (2.3) содержит два множителя, на один больше числа суперпозиций.

Задача 2.2. Найти производную функции:

(2.4)

Решение. Функция (2.4) также является сложной и содержит две суперпозиции:

поэтому можно ожидать, что производная будет содержать три сомножителя:

Как видим, множителей ровно три.

Подставляя вместо и их значения, получаем:

Замечание. На практике так подробно решение не расписывают. Находим производную от , считая выражение под знаком аргументом. Затем находим производную от , считая аргументом многочлен. Наконец, вычисляем производную от многочлена как функции переменной .

Проиллюстрируем эту последовательность действий:

Задача 2.3. Продифференцировать функцию:

Решение. Выполним дифференцирование в соответствии с замечанием.

Дата добавления: 2014-01-20