Экономизация степенных рядов

Рассмотрим один из простейших способов построения многочленов, близких к наилучшим равномерным, о существовании которых упоминалось в предыдущем параграфе.

В математическом анализе хорошо изучено и широко применяется разложение функций в степенные ряды, в частности, в ряды Тейлора. Частичные суммы таких рядов — многочлены — используются в качестве локальных аппроксимаций для исходных функций. Степени используемых при этом многочленов зависят от требуемой точности аппроксимации, положения точки из области сходимости ряда, в окрестности которой производится аппроксимация, скорости сходимости ряда. В некоторых случаях такой подход мало приемлем из-за медленной сходимости рядов и большой неравномерности, т.е. существенной разницы в необходимых для заданной точности степенях приближающих многочленов при разных значениях аргумента.

Для улучшения указанных параметров частичных сумм степенных рядов можно привлечь многочлены Чебышева. Процедура. преобразования степенного ряда, представляющего собой разложение некоторой функции по системе степенных функций, в разложение ее по системе многочленов Чебышева называется экономизацией степенного ряда [1 10].

Чтобы преобразовать степенной ряд в ряд по системе многочленов Чебышева, нужно сначала обратить формулы, по которым многочлены Чебышева Т_п (х) выражаются через степенные функции. А именно, глядя на несколько записанных в §2.1 первых многочленов Чебышева, можно через них выразить степени jc последовательно одну за другой:

и т.д. (Аргумент jc в этих выражениях для краткости опущен.)

Если некоторая функция f(x) на некотором промежутке [а, Ь] с [-1,1] представлена степенным рядом

то, подставляя сюда вместо степеней χ их выражения (2.12) через многочлены Чебышева и приводя подобные члены, можно, в -принципе, получить разложение f(x) вида

Имея в виду рассмотренные в §2.1 свойства многочленов Чебышева Т_п(х), можно рассчитывать, что многочлены, получаемые усечением разложений (2.13), будут близки к многочленам наилучших равномерных приближений.

Не пытаясь ответить на все возникающие здесь вопросы как теоретического, так и практического характера (некоторые сведения об этом можно найти, например, в [ПО]), посмотрим на примере, какой эффект может дать простейшая процедура эконо-мизации.

Если здесь оставить всего три первых члена, т.е. представить 1п(1 + х) многочленом второй степени

Рис. 2.5. Графики функции 1п(1 + х) и двух ее квадратичных приближений

Она показывает (как это и следовало ожидать), что в середине интервала сходимости ряда (2.14) данная функция точнее аппроксимируется

Многочлены наилучших равномерных приближений вызывают большой теоретический и практический интерес. Например, вычисление значений некоторых основных элементарных функций на микрокалькуляторах и компьютерах базируется на том, что подсчет значения функции в произвольной точке области определения сводится к вычислению значения на некотором стандартном промежутке, на котором данная функция подменяется многочленом, близким к многочлену наилучшего равномерного приближения такой степени, при которой гарантируется, что максимальная ошибка не будет превосходить заданной фиксированной величины при любом значении аргумента из этого промежутка [35, 69].

Кроме процедуры экономизации степенных рядов для построения многочленов, близких к многочленам наилучших равномерных приближений, привлекают и другие приемы, из которых - наиболее известны алгоритмы Ремеза и Балле Пуссена [37, 40, 83, 87, 90]!

Замечание 2.2. Можно встретить и несколько иное трактование понятия (и процедуры) экономизации степенных разложений. Так, например, в [16] (см. также [27]) этим термином определяется процесс перехода от аппроксимации функции f(x) многочленом w-й степени к аппроксимации многочленом (л-1)-й степени с сохранением (оценки) точности равномерного приближения. В основе такого процесса лежит следующее утверждение.

Подробное рассмотрение этого процесса на примерах, дающих представление о его сущности, см. в книге Ланцоша [65], где вместо термина экономизация используется термин телескопический сдвиг.

Дата добавления: 2014-01-20