Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Уровень Ферми

Читайте также:
  1. Абсолютный уровень
  2. Административный уровень
  3. Административный уровень
  4. Административный уровень информационной безопасности
  5. Аксиома 4. Цифровой и аналоговый уровень коммуникации
  6. Анализ влияния использования календарного фонда рабочего времени на уровень производительности труда
  7. Анализ влияния качества использования рабочего времени на уровень производительности труда
  8. Анализ влияния структуры, промышленно-производственного персонала на уровень производительности труда
  9. Базисный уровень сервиса
  10. Безубыточный уровень производства.
  11. Биосферный (биогеоценотический) уровень
  12. Биосферный уровень

Для определения числа частиц, имеющих энергию в заданном интервале, помимо плотности квантовых состояний N(W) необходимо знать вероятность того, что данное состояние с энергией W занято частицей, т.е. нужно знать функцию распределения f(W). В условиях теплового равновесия для частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу Паули, справедливо распределение Ферми – Дирака

где k – постоянная Больцмана; Т – абсолютная температура; WF – энергия Ферми или электрохимический потенциал, т.е. работа, которую необходимо затратить для изменения числа частиц в системе на единицу при условии постоянства объема и температуры.

Рассмотрим вид функции распределения Ферми – Дирака при различных температурах. Из формулы следует, что в случае Т = 0 в интервале энергии имеем fn = 1 и fn = 0 для . Это означает, что все квантовые состояния с энергией, меньшей энергии Ферми, заняты электронами, а уровни, лежащие выше уровня Ферми, полностью свободны, не заняты электронами. Следовательно, энергия Ферми есть максимально возможная энергия электронов в металле при температуре абсолютного нуля.

Рассмотрим случай, когда Т > 0. Из распределения Ферми – Дирака для значения энергии, равной значению энергии Ферми (W = WF), имеем fn = 1/2. Таким образом, уровень Ферми есть энергетический уровень, вероятность наполнения которого при температуре, отличной от абсолютного нуля, равна 0,5. При Т > 0 часть электронов в результате теплового движения перейдет в состояния с энергией, большей энергии ферми (W > WF), и соответственно часть состояний, находящихся ниже уровня Ферми, окажется свободной. В этом случае число частиц, перешедших на более высокие энергетические уровни, будет равно количеству образовавшихся свободных состояний в области W < WF.

Произведем оценку области изменения функции распределения fn (W) для случая Т > 0. Для этого подсчитаем fn (W) для разных значений энергии. Для энергий, отличающихся от WF на ± kT, значение на fn (W) составляет (1+е)-1 = 0,27 и (1+1/е)-1 = 0,73. При W - WF = ± 2kT значения fn равны 0,118 и 0,882 , а при W - WF = ± 3kT – 0,047 и 0,953. Из этих данных следует, что вероятность заполнения состояний заметно отличается от единицы или нуля лишь в пределах (23) kT вблизи значения W = WF (рис. 1).

Рис. 1. Вид функции распределения Ферми – Дирака

 

Функция распределения Ферми – Дирака характеризует вероятность заполнения данного квантового состояния электроном. Вероятность того, что при тепловом равновесии в состоянии с энергией W электрон отсутствует, т.е. оно занято дыркой, будет равна:

Следовательно, функция распределения для дырок аналогична функции распределения для электронов, если отсчитывать энергию дырок от уровня Ферми в противоположную сторону по сравнению с направлением отсчета энергии для электронов.



Для электронов, находящихся в состояниях с энергией W – WF >> kT, выражения для fn и fp имеют вид:

,

т.е. совпадают с функцией распределения Больцмана для частиц, подчиняющихся классической статистике. Если носители заряда подчиняются статистике Больцмана, то электронный газ невырожден и соответственно полупроводник с таким распределением носителей заряда принято называть невырожденным.

Таким образом, для большинства полупроводников (невырожденных)можно пользоваться статистикой Максвелла - Больцмана и только в некоторых случаях для полупроводников (вырожденных)необходимо использовать статистику Ферми - Дирака. Разница в этих двух функциях распределения электронов по энергиям показана на рис. 2.

Положение уровня Ферми в полупроводнике будет определять и дрейфовую и диффузионную составляющие тока.

Одно из фундаментальных положений физики твердого тела – постоянство (одинаковость) уровня Ферми для всех частей равновесной системы твердых тел, какой бы разнородной оно не была. Другими словами, в условиях равновесия, когда направленного движения носителей заряда нет, должно иметь место условие: , т.е. , тогда ток в полупроводнике .

W-WF (эВ)
fn(W)

Рис. 2. Вероятность заполнения электронами энергетических уровней при различных температурах: сплошная – по статистике Ферми-Дирака, пунктир – по статистике Максвелла-Больцмана для электронов в зоне проводимости и в валентной зоне

 

Для собственного полупроводника уровень Ферми определяется выражением: ,

где – эффективная масса дырок и электронов соответственно.

При температуре абсолютного нуля уровень Ферми для собственного полупроводника лежит в середине запрещенной зоны. У собственного полупроводника скорость изменения уровня Ферми с температурой пропорциональна отношению эффективных масс дырок и электронов. В результате этого с повышением температуры уровень Ферми отдаляется от зоны с тяжелыми носителями заряда, приближаясь к зоне с легкими носителями заряда. Например, при уровень Ферми с повышением температуры линейно смещается к днй зоны проводимости. И если расстояние от уровня Ферми до этой зоны становится соизмеримо с kT, то в ней наступает вырождение и соответствующий интеграл Ферми – Дирака уже не может быть заменен экспонентой. При этом, чем сильнее различаются эффективные массы электронов и дырок, тем раньше наступает вырождение.

В случае положение уровня Ферми не зависит от температуры и определяется серединой запрещенной зоны: .

Более точный анализ показывает, что сама ширина запрещенной зоны изменяется с температурой. Рост амплитуды тепловых колебаний атомов решетки приводит к ее уменьшению. Кроме того, с увеличением температуры изменяются межатомные расстояния, что также оказывает влияние на ширину запрещенной зоны. В результате зависимость ΔWз(Т) может иметь сложный характер. В качестве примера на рис. 3 показаны изменения ширины запрещенной зоны в зависимости от температуры для германия, кремния и арсенида галлия.

Рис. 3. Зависимость ширины запрещенной зоны германия, кремния и арсенида галлия от температуры

 

Для этих полупроводников значения ширины запрещенной зоны при 0 К составляют 0,89; 1,16 и 1,52 эВ соответственно. У них, как следует из рис. 3, в диапазоне температур 175 – 350 К ширина запрещенной зоны меняется линейно с температурой. При этом температурный коэффициент изменения ширины запрещенной зоны α = dΔWз/dT < 0 зависит от материала полупроводника (табл. 1). У PbS α < 0, ширина запрещенной зоны возрастает от 0,34 эВ при 0 К до 0,41 эВ при 300 К.

Таблица 1

Температурный коэффициент изменения ширины запрещенной зоны

  Германий Кремний Арсенид галлия Антимонид индия
α, эВ/К 3,9∙10-4 2,4∙10-4 4,3∙10-4 до 1750

 

В этих случаях зависимость подчиняется линейному закону вида

где ΔWз(0) – экстраполированная ширина запрещенной зоны при 0 К.

 

Теоретический анализ показывает:

откуда следует, что

Таким образом, если ширина запрещенной зоны полупроводника линейно зависит от температуры, график зависимости ln(niT-3/2) от 1/Т также представляет собой прямую линию, наклон которой характеризуется значением ΔWз(0), которое является экстраполированной шириной запрещенной зоны при 0 К. Истинное значение ширины запрещенной зоны полупроводника при данной температуре определяется по формуле .

Для примесных полупроводников уровень Ферми можно определить из соотношений (справедливы для Т ≠ 0 К):

,

,

где NC, NV – эффективная плотность разрешенных уровней в зоне проводимости и валентной зоне соответственно, NД, NА – количество донорных и акцепторных уровней (степень легирования).

При решении задач удобнее использовать следующие соотношения (справедливы для Т ≠ 0 К):

,

.

Таким образом, положение уровня Ферми в примесных полупроводниках зависит от температуры, степени легирования и ширины запрещенной зоны.

Для определения поведения уровня Ферми в области низких температур необходимо уточнить функцию Ферми – Дирака для примесных полупроводников.

Рассмотрим полупроводник, содержащий донорную примесь с концентрацией NД. Если бы на примесном уровне согласно принципу Паули могли расположиться 2 электрона с антипараллельными спинами, то вероятность его заполнения определялась бы Ферми – Дирака

в которой вместо W следовало бы поставить WД – энергию электрона на уровне примеси. Но на уровне WД может быть только один электрон (атом донора может удержать один электрон), следовательно, нейтральное состояние донорной примеси имеет вдвое больший статистический вес по сравнению с ионизированным состоянием. Тогда вероятность нахождения электрона на донорном уровне с энергией WД будет определяться выражением

Предэкспоненциальный множитель 1/2 в общем случае можно записать через g-1. Таким образом, для одновалентной донорной примеси (может отдать для участия в проводимости только 1 электрон), примесный уровень двукратно вырожден и фактор (степень) спинового вырождения g = 2.

Аналогично для акцепторного полупроводника, например кремния, легированного бором. Нейтральный атом бора с соседними атомами кремния образует 3 ковалентных связи, четвертая связь одного из четырех соседних атомов кремния остается незавершенной, и она, располагаясь около атома бора, ведет себя как положительная дырка. В эту незавершенную связь может перейти электрон от соседнего атома кремния, и для этого потребуется энергия, равная WА. В результате образуется свободная дырка, а атом бора превращается в отрицательно заряженный ион бора. Таким образом, на энергетическом уровне акцепторной примеси находится 1 электрон с произвольным направлением спина (нейтральное состояние акцепторной примеси) либо имеется 2 электрона с антипараллельными спинами, в случае когда атом акцепторной примеси для укомплектования парной связи захватывает электрон из валентной зоны (ионизированное состояние акцепторной примеси). Следовательно, степень вырождения акцепторного уровня g = 2.

В области низких температур (рис. 4) положение уровня Ферми будет определяться соотношением вида

где – g фактор спинового вырождения,

а энергия активации будет:

т.е. равна половине энергии ионизации донорной примеси. В невырожденном донорном полупроводнике при температуре абсолютного нуля уровень Ферми располагается посередине между дном зоны проводимости и уровнем донорной примеси.

Строгий теоретический анализ показывает, что в области достаточно низких температур (несколько градусов по шкале Кельвина), когда gNc<NД, уровень Ферми вначале повышается до некоторого максимального значения, а затем начинает снижаться и при gNc=Nd снова имеем WF =1/2 (WП + WД), как и для случая Т=0. Дальнейшее повышение температуры сопровождается ростом Nc и в области температуры, когда gNc >NД, уровень Ферми продолжает снижаться. Такому перемещению уровня Ферми соответствует экспоненциальная температурная зависимость концентрации электронов

Эта область изменения уровня Ферми с температурой, которая описывается предыдущей формулой, является областью слабой ионизации примеси (или областью вымораживания). Она обозначена цифрой 1 на рис. 4, на котором проиллюстрировано изменение уровня Ферми и концентрации электронов в зависимости от температуры для донорного полупроводника.

 

Рис. 4. Изменение положения уровня Ферми (а) и концентрации электронов (б) с температурой для донорного полупроводника

 

При дальнейшем повышении температуры концентрация электронов в зоне проводимости становится сравнимой с концентрацией примеси и предыдущие выражения для WF и nn в этом случае неприменимы. Однако теперь можно рассматривать другой крайний случай, когда температура достаточно высока и выполняется неравенство

При этом функция Ферми аппроксимируется выражением , которому соответствует:

Это означает, что практически вся донорная примесь ионизирована, и концентрация электронов в зоне проводимости не зависит от температуры. Эта область температур, при которой имеет место полная ионизация примеси, носит название области истощения примеси (или область полной ионизации примеси) и на рис.4 отмечена цифрой 2.

Условие полной ионизации донорной примеси, когда nn = NД, соответствует положению уровню Ферми на несколько kT ниже уровня примеси WД. Это значит, что при повышении температуры уровень Ферми, понижаясь, пересекает уровень WД и уходит вниз. Температура, при которой WF = WД, носит название температуры истощения TS, ее можно определить из условия

откуда

Как следует из выражения, температура истощения тем ниже, чем меньше энергия ионизации (WПWД), и концентрация донорной примеси NД и чем больше эффективная масса электронов, определяющая величину NС. При малых значениях (WПWД) истощение примеси наступает при очень низких температурах. Например, в электронном германии, легированном сурьмой в количестве NД = 1016 см-3, для которой энергия ионизации равна 0,0096 эВ, насыщение наступает уже при ТS = 32К.

При дальнейшей повышении температуры увеличение концентрации электронов в зоне проводимости будет осуществляться за счет переходов электронов из валентной зоны. В этом случае положение уровня Ферми и концентрация электронов будут определяться уравнениями для WFi. и ni . На рис. 4 область 3 соответствует области собственной проводимости. В этом случае WFi и можно определить

Отсюда получаем

Анализ этого выражения показывает, что температура Ti, при которой наступает собственная проводимость у донорного полупроводника, тем ниже, чем меньше ширина запрещенной зоны и концентрация примеси и чем больше значение эффективных масс носителей заряда.

Таким образом, используя описанные приближения, можно проследить изменение концентрации электронов и положения уровня Ферми в запрещенной зоне электронного полупроводника во всей области изменения температуры.

В качестве примера на рис. 5 приведены температурные зависимости уровня Ферми и концентрация равновесных электронов n0 и дырок р0 для германия, легированного сурьмой в количестве NД ≈ 1016 см-3. Кроме того, на этих кривых пунктиром показан ход WFi и ni в собственном германии. При построении графиков учтена зависимость ширины запрещенной зоны германия от температуры.

Рис. 5. Температурная зависимость уровня Ферми (а) и концентрации носителей заряда (б) для германия, легированного сурьмой

 

Из этого рисунка следует, что при температуре абсолютного нуля уровень Ферми в германии расположен посередине между дном зоны проводимости WП и уровнем донорной примеси WД. При повышении температуры он опускается и приближается к уровню примеси WД. При температуре насыщения TS на донорной примеси электроны находятся в количестве, равном:

а в зоне проводимости соответственно 1/3 NД электронов. С дальнейшим ростом температуры уровень Ферми продолжает опускаться и наступает область истощения; вся примесь ионизирована, и концентрация электронов проводимости остается постоянной и равной nn = NД. В этой температурной области имеет место уже ионизация атомов основного вещества, и появляются неосновные носители заряда – дырки. Их концентрация резко возрастает с ростом температуры согласно соотношению

Когда уровень Ферми достигает середины запрещенной зоны, то nn = pn = ni и полупроводник от примесного переходит к собственному. При дальнейшем повышении температуры уровень Ферми приближается к той зоне, которая имеет меньшую эффективную плотность состояний.

Уровень Ферми для кремния в зависимости от концентрации примесей и температуры приведен на рис. 6. Здесь же приведена зависимость ширины запрещенной зоны от температуры.

 

Рис. 6. Зависимость уровня Ферми в кремнии от температуры и концентрации примесей

 

В акцепторном полупроводнике, как и в случае донорной примеси, при высоких температурах наступает область истощения, характеризующаяся полной ионизацией атомов акцепторной примеси. С дальнейшим ростом температуры уровень Ферми поднимается к середине запрещенной зоны, и полупроводник ведет себя как собственный.

Выводы:

1. При Т = 300ºК уровень Ферми в n-полупроводнике лежит, как правило, ниже уровня донорной примеси WД, но выше середины запрещенной зоны.
В p-полупроводнике уровень Ферми расположен выше уровня акцепторной примеси WА, но ниже середины запрещенной зоны.

2. Чем сильнее легирован полупроводник n-типа, тем ближе уровень Ферми к дну зоны проводимости, для p-типа: чем больше акцепторной примеси, тем ближе уровень Ферми к валентной зоне. Таким образом, чем сильнее легирован полупроводник, тем ближе уровень Ферми к зоне, отвечающей за тип проводимости (зона основных носителей заряда).

3. С ростом температуры уровень Ферми в n-полупроводнике снижается к середине запрещенной зоны, а в p-полупроводнике повышается к середине запрещенной зоны, т.е. примесный полупроводник ведет себя как собственный.

4. Чем сильнее легирован материал, тем выше максимальная рабочая температура прибора, использующего примесный характер полупроводника.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Кольцевые отсосы | Философия Нового времени и эпохи Просвещения

Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 6258; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2019) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.011 сек.