Ой тип задачи

Стационарное распределение температуры в бесконечном однородном цилиндре, у которого образующие , направляющая лежит в плоскости , а боковая поверхность поддерживается при определенной температуре , и тоже остается постоянной на любой прямой, , проходящей в цилиндре, так что .

Наиболее простая задача Дирихле в одномерном случае. Тогда уравнение Лапласа в декартовых координатах

, его решение

(стационарное распределение температуры в тонком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью всегда линейно)

Задача Дирихле имеет решение в этом случае , .

В следующей задаче с осевой симметрией – уравнение Лапласа в цилиндрических координатах, считая, что не зависит от и :

Задача Дирихле имеет решение

Эта формула дает решение задачи о стационарном распределении тепла в пространстве между двумя цилиндрами с осью при условии, что на поверхности цилиндров поддерживается постоянная температура. Полученное решение теряет смысл при .

Если зависит только от расстояния точки до начала координат, то воспользуемся сферическими координатами:

отсюда

задача Дирихле:

Стационарное распределение температуры в сферическом слое :

при - решение не имеет смысла.

Трехмерная и двухмерная задачи Дирихле может быть точно решена только для сравнительно простых областей.

МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ

Этот метод базируется на формуле Грина, является следствием формулы Остроградского-Гаусса:

;

где - граница области , - единичный вектор нормали ;

Пусть и - две любые дважды дифференцируемые функции и

,

Тогда

;

Т.к. , то

.

Вычислим :

;

преобразуем каждое выражение в правой части:

Следовательно,

Подставим и в формулу Грина.

- формула Грина.

Пусть область ограничена снаружи замкнутой поверхностью и изнутри замкнутой поверхностью , лежащей целиком внутри . Формулу Остроградского-Гаусса запишем в виде:

, где - единичный вектор внешней нормали к , то есть, направлен внутрь .

Соответственно формула Грина примет вид:

Эта формула – основа метода функции Грина для решения задачи Дирихле в пространстве.

Введем понятие самой функции Грина для трехмерного случая:

В качестве поверхности возьмем границу области , для которой решаем задачу Дирихле, и выберем внутри произвольную, но фиксированную точку , которую окружим сферой радиуса >0 с центром в точке . При этом, предположим, что сфера и имеет область . Обозначим через - любую точку области , отличную от , - расстояние между точками и :

Функция - гармоническая, то есть удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках, кроме точки , в ней она обращается в бесконечность.

;

Аналогично получим:

Суммируем:

функция является гармонической.

Обозначим далее через - решение задачи Дирихле для области с краевыми условиями

- гармоническая функция во всей области , включая сферу и точку . Рассмотрим это на примере.

Пусть - шар радиуса 1 с центром в начале координат, - его граница и точка совпадают с началом координат.

Тогда

В то же время функция, принимающая на границе значение, равное 1 и гармоническая во всем шаре, будет тождественно равно 1

Физическое соображение: если температура в точках тела не меняется с течением времени, а на границе тела постоянна, то она будет величиной постоянной.

Вывод из примера: функции и совпадают только на границе.

Разность функций называется функцией Грина для области :

Функция Грина на границе обращается в нуль:

Пусть - искомая гармоническая функция в области , принимает на границе значение : ,

положим и применим к области формулу Грина:

>0,

т.к. ;

2: ;

1: введем сферические координаты с началом в точке проинтегрируем по :

;

; ; ;

правая часть равенства не зависит от , поэтому она должна быть равна пределу левой части при :

Функции и - гармонические во всей области , включая точку , поэтому они вместе со своими производными ограничены, это значит, что

и - неограниченна при .

Найдем предел каждого слагаемого в отдельности:

Т.к. функция непрерывна, то считая возможным переход к пределу под знаком интеграла, получим

Таким образом,

Т.к. при в качестве аргументов функции мы получим координаты точки , то , то

- решение задачи Дирихле в пространстве, если известна - функция Грина получаем значение искомой функции и в любой точке области .

Дата добавления: 2014-01-20