Последовательность построения статистических моделей

Различают два способа построения статистических регрессионных моделей: для активного и пассивного экспериментов. Рассмотрим последовательность построения регрессионной модели для активного эксперимента.

1. Постановка задача и выбор функции отклика - зависимой переменной y..Здесь устанавливается функциональная зависимость между откликом y и независимыми переменными (факторами) - X_i.

Эта зависимость (функция) может быть линейной или нелинейной. Например:

y=b₀+b₁X₁+b₂X₂+ b₃X₃+… (3.67)

Это линейная многофакторная модель.

y=b₀+b₁X₁+b₂X²₂+ b₃X³₃+… (3.68)

Это нелинейная многофакторная модель.

Если заранее (из теории) известна функциональная зависимость y от Х_i, то регрессионная модель должна строиться в соответствии с этой зависимостью.

Если функция y=j(X₁;X₂;X₃…) заранее неизвестна, то построение регрессионной модели начинают с простейшей линейной регрессионной модели (3.67).

2. Выбор факторов X_i, влияющих на y. Выбор факторов (независимых переменных) X_i осуществляется на основе функционирования системы или процесса. Оптимальное число факторов должно быть 3 - 4.

В этом случае обеспечивается минимальная погрешность эксперимента. В некоторых случаях отдельные факторы целесообразно "заморозить" К таким факторам можно отнести температуру - Т°С, углы возвышения (снижения) - в градусах и др.

3. Выбор уровней факторов и обоснование их варьирования. При планировании эксперимента могут использоваться двухуровневые факторы

X_i,max-X_i,min (3.69)

или трехуровневые

X_i,max-X_i,0-X_i,min. (3.70)

4. Определение числа опытов и их повторов.

Минимальное число опытов активного полнофакторного эксперимента определяют по формуле

N_min=n^k, (3.71)

где n - количество уровней факторов X_i;

K - количество факторов X_i в модели.

Общее количество наблюдений N определяется по зависимости

N= m·N_min, (3.72)

где m - количество повторений (повторов) каждого i -го опыта из N_min.

Количество повторов m может быть для всех опытов постоянным или переменным и должно быть не менее трех (m > 3).

5. Составление матрицы планирования.

Пример построения матрицы планирования для трех факторов, имеющих два уровня варьирования, приведен в табл. 3.26.

При составлении матрицы планирования соблюдаются следующие правила расстановки знаков ("+" и "-") для i -х факторов:

- для фиктивного фактора Х₀ - везде ставятся плюсы,

- для Х₁ - чередуются минус и плюс;

- для Х₂- чередуются два минуса и два плюса;

- для Х₃- чередуются четыре минуса и четыре плюса;

- для Х₄- чередуются восемь минусов и восемь плюсов;

- для взаимодействия факторов Х_iХ_j знаки определяются путем умножения соответствующих знаков факторов Х_i и Х_j.

Таблица 3.26

Матрица планирования трехфакторного эксперемента

	№ опыта
Факторы	Х0	+	+	+	+	+	+	+	+
Х1	-	+	-	+	-	+	-	+
Х2	-	-	+	+	-	-	+	+
Х3	-	-	-	-	+	+	+	+
Эффекты взаимодействия	Х1Х2	+	-	-	+	+	-	-	+
Х1Х3	+	-	+	-	-	+	-	+
Х2Х3	+	+	-	-	-	-	+	+
Х1Х2Х3	-	+	+	-	+	-	-	+
Повторы отклика	y1i	y11	y12	y13	y14	y15	y16	y17	y18
y2i	y21	y22	y23	y24	y25	y26	y27	y28
y3i	y31	y32	y33	y34	y35	y36	y37	y38
i	y1	y2	y3	y4	y5	y6	y7	y8
S^2i(y)	S^21	S^22	S^23	S^24	S^25	S^26	S^27	S^28

Факторы X_i - для первого опыта (y_i) должны иметь все минусы, а последнего (y_n) - все плюсы.

6. Ввод исходных факторов X_i в матрицу планирования.

Эта задача решается по следующему правилу:

- во всех графах матрицы планирования (Х_i…X_k), имеющих знак минус ("-"), проставляется минимальное значение фактора X_i,min;

- во всех графах матрицы, имеющих знак плюс ("+"), проставляется - X_i,max;

- в графах взаимодействия факторов Х_iX_j производится перемножение соответствующих значений факторов Х_i и X_j. В этом случае могут умножаться X_i,min на X_i,max и т.д.

Полученные таким образом численные значения факторов в матрице планирования используются при проведении натурного или вычислительного эксперимента. Если имеется программа построения регрессионной модели, то указанные значения факторов являются вводом (исходными данными) в эту программу.

7. Проведение эксперимента.

Эксперимент проводится в соответствии с матрицей планирования (табл. 3.26) построчно, т.е. каждый i -й опыт отдельно, причем каждый опыт повторяется m раз (в табл. 3.26 - три раза). При этом получают три результата: y_1i,y_2i,y_3i. Эта работа повторяется для каждого i-го опыта (строки матрицы планирования). Результаты опытов (повторов) записывают в соответствующие графы табл. 3.26.

8. Определение среднего значения для каждой графы табл. 3.26 по формуле

. (3.73)

Указанные значения заносятся в графу табл. 3.26.

9. Определение дисперсий S²_i…S²_n результатов опытов (повторов) производится по формуле

S²_i (y)=, (3.74)

где m - число повторов;

y_i- i-е значение отклика;

- среднее значение отклика, определяемое по формуле (3.73).

Результаты вычисленных значений S²_i (по каждой графе матрицы) заносятся в табл. 3.26 (последняя строка).

10. Определение дисперсии воспроизводимости (средняя дисперсия отклика y) по формуле

, (3.75)

где значения дисперсий S²_i определяются по формуле (3.74)

11. Проведение проверки однородности дисперсий S²_i(S²₁…S²_n). Эта проверка производится по критерию Кохрена

G_рас<G_табл, (3.76)

где G_рас= - расчетное (опытное) значение критерия G,

S²_max - максимальное значение S²_i (выбирается из последней строки табл. 3.26),

G_табл - табличное (теоретическое) значение критерия Кохрена. Оно определяется по таблицам математической статистики. Входами в таблицу являются: a(n)- значимость (доверительная вероятность); f₁=m-1 - степень свободы; f₂=N -степень свободы большая.

Если условие (3.76) не выполняется,то воспроизводимость дисперсий не соблюдается. В этом случае надо выбрать другую форму регрессионной модели. Например, вместо линейной выбрать нелинейную, степенную и др.

После выбора новой регрессионной модели все работы повторить сначала.

Критерий Кохрена применяется для случаев, когда число повторов m во всех опытах одинаково. В противном случае, когда m не равны, применяется критерий Бартлета.

Если критерий Кохрена (Бартлета) (3.76) выполняется,топроизводится определение коэффициентов регрессионной модели b_i.

12. Определение коэффициентов модели b_i.

Эта задача определяется по формуле

b_i=. (3.77)

Здесь численные значения _i берутся из столбца (строки) матрицы планирования с соответствующим знаком для каждого фактора X_i и соответствующей графы, т.е. все значения _i складываются со своими знаками и потом делятся на N опытов.

Фиктивный коэффициент модели b₀ определяется по формуле

. (3.78)

Коэффициенты взаимодействия факторов b_ij определяются со своими знаками (плюс или минус) по формуле

. (3.79)

13. Проверка значимости коэффициентов модели.

Эта проверка проводится по критерию Стьюдента. Коэффициент b_i будет значим (член уравнения регрессии с этим коэффициентом остается в формуле), если соблюдается условие

t_рас>t_табл, (3.80)

где t_рас=- расчетное (опытное) значение критерия Стьюдента (3.81),

S_b=, S²_b=; (3.82)

- определяется по формуле

(3.83)

S²_i- определяются по формуле (3.74) и приведена в табл. 3.26 (последняя строка);

t_табл - табличное (теоретическое) значение критерия Стьюдента. Величина t_табл определяется по таблице.

Входом в таблицу является: a(0,05…0,2) - коэффициент значимости или соответствующая доверительная вероятность n=1-a и степень свободы f₄, определяемая по формуле

f₄=(m-1)N (3.84)

Проверка значимости производится для всех коэффициентов модели b₀; b_i; b_j. Если критерий (3.80) для каких-либо коэффициентов не соблюдается,то такие слагаемые (с этими коэффициентами) из уравнения регрессии исключаются.

На основе оставшихся значимых коэффициентов составляется новая регрессионная модель.

14. Проведение проверки адекватности вновь полученной модели.

Эта проверка производится по критерию Фишера

F_рас<F_табл, (3.85)

где F_рас=- расчетное (опытное) значение критерия.

Дисперсия адекватности S²_ад определяется по формуле

S²_ад=, (3.86)

где - определяют по формуле (3.73), его назначение приведено в табл. 3.26;

- значение отклика, определяемое по формуле вновь полученной модели

=b₀+b₁X₁+b₂X₂+b₁₃X₁X₃. (3.87)

Величины определяются для каждой графы (опыта) табл. 3.26;

K - число коэффициентов новой (3.87) регрессионной модели;

- средняя дисперсия отклика, определяется по формуле (3.75).

Табличное (теоретическое) значение критерия Фишера F_табл определяется по таблице. Входами в таблицу являются:

1) a или n - коэффициент значимости или доверительная вероятность;

2) f₃=N-(K+1) - степень свободы малая;

3) f₄=N·(m-1) - степень свободы большая.

Если критерий Фишера (3.85) выполняется, то полученная модель работоспособна и может быть использована для прогнозирования соответствующих показателей.

Если критерий (3.85) не выполняется, то необходимо провести анализ составленной РМ и при необходимости составить новую.

При пассивном эксперименте исследователь не управляет экспериментом, а пассивно наблюдает за ним. Исходные данные для составления регрессионной модели в этом случае получаются путем сбора статистических характеристик из различных учетных и отчетных документов.

Недостатками пассивных экспериментов являются невозможность повторения опытов, в результате чего невозможно обоснованно проверить адекватность полученной модели, и большой объем вычислительных работ, связанный с переходом от натурных коэффициентов модели к стандартизованным и обратно. В этой связи регрессионные модели пассивного эксперимента, как правило, составляются при помощи программ, разработанных для ЭВМ.

Активный эксперимент является более предпочтительным, так как в этом случае достигается наилучшая эффективность модели при минимальном количестве опытов (N). Модели, построенные на основе активного эксперимента можно улучшать (совершенствовать) при помощи критериев Кохрена, Стьюдента и Фишера.

В случае пассивного эксперимента регрессионные модели получаются менее эффективными, без повторов наблюдений. Здесь нельзя применять критерии Кохрена, Стьюдента, а, следовательно, и совершенствовать регрессионные модели

Дата добавления: 2014-01-20