Однофакторный дисперсионный анализ. Пусть имеются т партий изделий

Пусть имеются т партий изделий. Из каждой из которых отобрано соответственно изделий (для простоты пусть ). Значения показателя качества этих изделий можно представить в виде матрицы наблюдений:

Следует проверить существенность влияния партии изделий на их количество. Положим, что элементы строк матрицы наблюдений – это численные значения (реализации) случайных величин , выражающих качество изделий и имеющих нормальный закон распределения с математическими ожиданиями соответственно и одинаковыми дисперсиями . Задача сводится к проверке нулевой гипотезы , осуществляемой в дисперсионном анализе.

Пусть усреднение по какому-либо индексу будет обозначено через «звездочку» (или точкой) вместо индекса, тогда средний показатель качества изделий i -й партии, или групповая средняя для i -го уровня фактора примет вид:

(1)

а общая средняя –

(2)

Представим схему дисперсионного анализа в виде таблицы:

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средний квадрат
Межгрупповая		m – 1
Внутригрупповая		m·n – m
Общая		m·n – 1	–

Справедливо следующее тождество: .

В дисперсионном анализе анализируются не сами суммы квадратов отклонений, а так называемые средние квадраты, являющиеся несмещенными оценками соответствующих дисперсий, которые получаются деление сумм квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы. {Для расчета среднего квадрата используются т групповых средних, связанных одним уравнением (2), Поэтому число степеней свободы: . Для расчета используются тn наблюдений, связанных между собой т уравнениями (1), – число степеней свободы: }.

Проверка нулевой гипотезы сводится к проверке существенности различия несмещенных выборочных оценок и дисперсии .

Гипотеза Н₀ отвергается, если фактически вычисленное значение статистики больше критического , определенного на уровне значимости α при числе степеней свободы , , и принимается, если .

Применительно к данной задаче опровержение гипотезы Н₀ означает наличие существенных различий в качестве изделий различных партий на рассматриваемом уровне значимости.

Задача 1

При исследовании влияния стажа работы на производительность труда (количество деталей в день) в одном из цехов завода получен следующий однофакторный дисперсионный комплекс (таблица А1):

Таблица А1

Номер наблюдения	Стаж работы рабочих (лет)
	До 5	5-10	10-15	15-20
	ИТОГИ
	Группы	Счет	Сумма	Среднее	Дисперсия
	Столбец 1			151,75	7,583333333
	Столбец 2			157,5	8,333333333
	Столбец 3			161,8	27,7
	Столбец 4
	Дисперсионный анализ
	Источник вариации	SS	df	MS	F	P-Значение	F критическое
	Между группами	301,3875		100,4625	7,50887574	0,00432931	3,490294821
	Внутри групп	160,55		13,37917
	Итого	461,9375

Х**=158,4375

Дата добавления: 2014-01-20