Точки перегиба

Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая теорема.

Теорема 25.12 (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой есть точка перегиба.

Пусть при и при . Это значит, что слева от график выпуклый вверх, а справа – выпуклый вниз. Следовательно, точка графика функции является точкой перегиба.

Аналогично доказывается, что если при и при , то точка – точка перегиба графика функции .

Пример 25.12. Исследовать на выпуклость и точки перегиба график функции .

Решение. Находим, что , . Вторая производная существует на всей числовой оси; при .

Отмечаем, что при ; при .

Следовательно, график функции в интервале – выпуклый вверх, в интервале – выпуклый вниз. Точка есть точка перегиба.

Дата добавления: 2014-01-20