Базис пространства

Линейно независимая система векторов, через которые линейно выражается каждый вектор пространства, называется базисом пространства. Пусть базис этого пространства, так как всякий вектор пространства одно однозначно представляется в виде линейной комбинации векторов , то ввиду (1) образ вектора с теми же коэффициентами выражается через образы векторов , т.е. всякое линейное преобразование пространства однозначно определяется заданием образов . Из координат образов мы можем составить матрицу А. Строками этой матрицы будут координаты образов базисных векторов. Покажем, что образ любого вектора х мы можем получить умножив матрицу А на х. Возьмем произвольный вектор х, . В силу (1) , что равносильно матричному равенству . Другими словами, строка координат вектора равна строке координат вектора х, умноженной справа на матрицу А линейного преобразования , все в базисе е: .

Линейное преобразование полностью характеризуется его матрицей. Поэтому действия над такими преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами.

Нахождение собственных чисел (характеристических корней) и собственных векторов квадратных матриц.

Пусть - квадратная матрица порядка n c действительными элементами, Х – вектор-столбец, - некоторое неизвестное. Умножим матрицу А на вектор Х. Произведение будет вектором-столбцом, элементы которого обозначим через .Если окажется, что элементы (i =1,2 … n), т.е. пропорциональны соответствующим элементам вектора-столбца х с коэффициентом пропорциональности , то вектор-столбец х называется собственным вектором матрицы А, а коэффициент пропорциональности - характеристическим числом матрицы А, или её собственным значением. Другими словами, вектор х называется собственным вектором матрицы А, а число - её характеристическим числом, или её собственным значением, если выполняется равенство . Перепишем это уравнение в виде или

(2)

где Е - единичная матрица, порядок которой равен порядку матрицы А, а 0 – нулевой вектор-столбец, т.е. столбец все элементы которого равны нулю. Матрица называется характеристической матрицей матрицы А. Так как в матрице по главной диагонали стоит , а все остальные элементы равны нулю, то

.

При условии, что вектор , равенство (2) возможно только тогда, когда определитель его левой части равен нулю, т.е. . Это уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А. Оно также носит название векового уравнения, потому что к нему приводит в небесной механике задача исследования вековых возмущений планет.

Определитель матрицы будет многочленом от степени n. Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А. Характеристическое уравнение запишется так:

, где

А₁ – сумма всех диагональных миноров 1- го порядка;

А₂ – сумма всех диагональных миноров 2- го порядка;

……………………………………………

А_n – сумма всех диагональных миноров n - го порядка.

Этот способ составления характеристического уравнения носит еще название метода непосредственного развертывания.

Его корни , среди которых могут быть равные, называются характеристическими корнями матрицы А или ее собственными значениями. Они могут быть как действительными, так и комплексными. Весь набор характеристических корней, причем каждый корень берется с той кратностью, какую он имеет в характеристическом многочлене, называется спектром линейного преобразования .

Каждому собственному значению матрицы А на основании уравнения , или, что то же самое: , соответствует собственный вектор.

Собственным вектором матрицы А, принадлежащим собственному значению , называется ненулевой вектор, для которого столбец х, составленный из его элементов, удовлетворяет матричному уравнению . Любой собственный вектор можно определить с точностью до постоянного множителя. Подставляя в (2) поочередно все собственные значения , получим n собственных векторов.

Собственные числа и собственные вектора матрицы А имеют большое значение в описании линейного преобразования, задаваемого этой матрицей. Собственные вектора определяют направление (прямую), которая остается неизменной при данном линейном преобразовании. Собственные значения определяют коэффициент пропорциональности векторов и их образов на этом неизменном направлении.

Пример 1. Найти собственные числа и собственные вектора матрицы:

Решение.

Составим характеристическое уравнение и найдем собственные значения матрицы:

Поставим в уравнение поочередно все собственные значения и найдем координаты собственных векторов.

Составим систему для нахождения первого собственного вектора. После подстановки в (2) первого собственного значения мы имеем:

Определитель этой системы равен нулю. Здесь независимы только два уравнения (действительно, если сложить второе уравнение в третьим и сумму умножить на –2, то получится первое уравнение). Рассмотрим систему, состоящую из первого и второго уравнений:

Пусть - свободная неизвестная. Пусть , тогда

Решим эту систему по методу Крамера:

таким образом, первый собственный вектор имеет координаты:

Аналогично, из системы:

где независимых уравнений только два (если второе уравнение разделить на –2 и сложить с третьим, то получится первое) мы получим систему, состоящую из второго и третьего уравнения. Решив ее, получим второй собственный вектор:

Составим систему для третьего вектора:

Здесь опять-таки только два уравнения независимы (если первое уравнение умножить на –2, а второе на 2 и сложить их, то получится третье уравнение). Получилась система, содержащая два первых уравнения. Решив ее, получим третий собственный вектор: .

Ответ. ,,

Пример 2. Найти собственные числа и собственные вектора матрицы: .

Решение.

Собственные числа матрицы А найдем из характеристического уравнения матрицы. Согласно методу непосредственного развертывания для матрицы третьего порядка это уравнение имеет вид: ,

где , (сумма диагональных элементов матрицы),

, (сумма диагональных миноров второго порядка)

, (определитель матрицы).

Вычислив указанные коэффициенты, составим уравнение: . Корни этого уравнения являются собственными числами: .Первое число соответственно кратности 1, а второе – кратности 2. Для нахождения собственных векторов подставим найденные значения в уравнение: .

Для получим систему: Из последнего уравнения следует, что . Используя это равенство в первом уравнении, получим, что . Таким образом, , где С₁ – любое число. Итак, первый собственный вектор: .

Найдем собственный вектор, соответствующий кратному собственному числу . Для него получаем систему:

Фактически, это одно уравнение , полагая , можем записать: , тогда

Ответ. ,.

Пример 3. Рассмотрим модель автопарка. Предположим, что автомобили могут использоваться на протяжении одного года, двух или трех лет. Допустим, что 100% автомобилей, срок службы которых три года, заменяются новыми, парк машин, прослуживших два года, обновляется лишь на 20%; все машины со сроком службы в один год продолжают эксплуатироваться на протяжении следующего года.

Тогда число машин, используемых первый год, определяется 100%-ным обновлением тех автомобилей, у которых не позднее, чем год назад истек трехлетний срок службы, и 20%-ным обновлением парка тех машин, у которых не позднее чем год назад истек двухлетний срок службы. Число машин, используемых второй год, совпадает с числом автомобилей, у которых не позднее чем год назад истек одногодичный срок службы. Наконец, автомобили, используемые на протяжении третьего года, составляют 80% парка машин, у которых не позднее, чем год назад истек двухлетний срок службы.

Формализуем задачу, представив распределение машин по годам в виде векторов: , где индекс t обозначает номер года, а элементы - число автомобилей, которые к началу t -го года уже прослужили i лет. Вектора могут быть объединены в матрицу . С помощью этой матрицы может быть осуществлена связь между векторами распределения машин по срокам службы в (t-1) и t годах: . Кроме того, эта модель позволяет ответить на вопрос: может ли существовать при данных условиях не изменяющееся во времени распределение машин по срокам службы. Другими словами, требуется найти собственный вектор матрицы А для собственного значения.

Сначала удостоверимся, что действительно является собственным значением матрицы А. Составим характеристическое уравнение.

действительно является корнем этого уравнения. Вычислим собственный вектор, соответствующий этому собственному значению, согласно описанной выше процедуре. Получится вектор . Поскольку этот вектор является собственным для собственного значения , то он не будет меняться год от года. Это означает, что парк автомобилей, внутри которого число машин, служащих первый год, совпадает с числом машин, служащих второй год, а количество машин, служащих третий год, составляет 80% этой величины, будет все время сохранять стабильную структуру.

Дата добавления: 2014-01-20