Кривые линии

Кривая – это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной. В начертательной геометрии кривую рассматривают как:

• траекторию, описанную движущейся точкой,
• проекцию другой кривой,
• линию пересечения двух поверхностей.

Кривые подразделяются на алгебраические и трансцендентные (к ривые, уравнения которых содержат трансцендентные функции, например, логарифмы или тригонометрические функции, например, y = log x и y = tg x – уравнения трансцендентных кривых.)в зависимости от того являются ли их уравнение алгебраическими или трансцендентными в прямоугольной системе координат.

Кривая называется плоской, если все ее точки принадлежат некоторой плоскости, в противном случае она называется пространственной.

Плоская кривая линия называется алгебраической, если её уравнение f (xy)=0. Функция f (xy) является степенным множителем относительно переменных х и у; в остальных случаях кривая называется трансцендентной.

Кривая линия, представленная в декартовых координатах уравнением n - ой степени, называется алгебраической кривой n -го порядка.

Порядок плоской алгебраической кривой линии определяется наибольшим числом точек её пересечения прямой линией. Любая прямая линия может пересекать алгебраическую кривую линию n -го порядка не более чем в n точках.

Трансцендентные кривые в отличие от алгебраических могут иметь бесконечное количество точек пересечения с прямой, точек перегиба, вершин и т.п.

Рассмотрим несколько примеров алгебраической кривой линии:

Рисунок 1 – Парабола

1. Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках (рис.1). При этом парабола может быть определена как:

-множество точек М (xy) плоскости, расстояние FM которых до определенной точки F этой плоскости (фокуса параболы) равно расстоянию MN до определенной прямой АN - директрисы параболы;

-линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и параллельная какой либо касательной плоскости этого конуса;

-в прямоугольной системе координат 0ху с началом в вершине параболы и осью 0х направленной по оси параболы уравнение параболы имеет так называемый канонический вид

y ²=2 px,

где р (фокальный параметр) - расстояние от фокуса до директрисы.

Рисунок 2 – Гипербола

2. Гипербола:

- множество точек М плоскости (рис.2) разность (по абсолютной величине) расстояний F ₁ M и F ₂ M которых до двух определенных точек F ₁ и F ₂ этой плоскости (фокусов гиперболы) постоянна:

F ₁ M - F ₂ M =2 а <2 с

Середина 0 отрезка F ₁ F ₂ (фокусного расстояния) называется центром гиперболы;

- линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающая обе его полости;

- в прямоугольной системе координат 0ху с началом в центре гиперболы, на оси 0х которой лежат фокусы гиперболы уравнение гиперболы имеет так называемый канонический

х ²/ а ² - у ²/ в ²=1, в ²= с ² - а ²,

где а и в длинны полуосей гиперболы.

Пример трансцендентных кривых:

Рис. 3 – Синусоида

1. Синусоида - трансцендентная плоская кривая линия (рис.3), получающаяся в результате двойного равномерного движения точки – поступательного и возвратно-поступательного в направлении, перпендикулярном первому.

Синусоида – график функции у =sin x, непрерывная кривая линия с периодом Т =2п.

Кривая линия как траектория движущейся точки должна быть непрерывной. Движущаяся точка в любом положении должна иметь определенное направление движения. Это направление указывает прямая (касательная), проходящая через рассматриваемую точку.

Точки кривых разделяются на обыкновенные и особые.

На рисунке 4а показана обыкновенная точка М, а на рисунке 4б,в,г,д,е – некоторые особые точки (точки перегиба N, точки возврата Р и Q, узловая точка R и точка излома Т). При проецировании сохраняются все эти особенности точек кривой и поэтому по проекции плоской кривой можно судить о характере самой кривой.

Рисунок 4

13.1 Свойства ортогональных проекций кривой

1. Проекцией кривой линии является кривая линия.

2. Касательная к кривой линии проецируется в касательную к её проекции.

3. Несобственная точка кривой проецируется в несобственную точку её проекции.

4. Порядок линии – проекции алгебраической кривой равен порядку самой кривой или меньше.

5. Число узловых точек (в которых кривая пересекает сама себя) проекции равно числу узловых точек самой кривой.

Случаи когда, плоская кривая проецируется в прямую (свойства 1,4,5), а касательная в точку (свойство 2) не учитываются.

13.2 Пространственные кривые линии

Пространственные кривые линии в начертательной геометрии обычно рассматриваются как результат пересечения поверхностей или траекторию движения точки.

Пространственную, так же как и плоскую, кривую линию на чертеже задают последовательным рядом точек.

Классическим примером пространственных кривых линий являются цилиндрическая и коническая винтовые линии.

Дата добавления: 2014-01-11