Аппроксимация по Чебышеву первого рода

Аппроксимация по Баттерворту

Аппроксимация АЧХ фильтров общие замечания

Аппроксимация АЧХ нормированного ФНЧ представляется в виде:

(7)

где - аппроксимирующая функция порядка. Таким образом, для аппроксимации необходимо задать порядок нормированного фильтра. Нормированный фильтр называется потому что его частота среза. Основными способами аппроксимации являются:

• Аппроксимация по Баттерворту, при которой.
• Аппроксимация по Чебышеву:, - многочлен Чебышева -го порядка.
• Аппроксимация по Чебышеву второго рода (инверсные фильтры Чебышева):.
• Аппроксимация по Кауэру (эллиптическая аппроксимация):, - эллиптическая дробно-рациональная функция.

Для того чтобы АЧХ фильтра разместилась в заданном коридоре необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

(8)

Очевидно, что первое условие будет выполнено, если

(9)

Чтобы выполнилось второе условие, необходимо чтобы порядок фильтра обеспечивал переходную полосу заданной ширины и с заданным подавлением, т.е.

(10)

Откуда можно выразить:

(11)

Таким образом, мы получили уравнение (6), решая которое относительно можно рассчитать требуемый порядок фильтра, при котором АЧХ фильтра разместится в заданном коридоре. При этом рассчитанное округляется в большую сторону до ближайшего целого.

Рассмотрим подробнее аппроксимацию АЧХ нормированного ФНЧ.

Квадрат АЧХ фильтра задается выражением:

(12)

На рисунках 3 и 4 показаны аппроксимирующая функция и квадрат модуля АЧХ при порядке фильтра.

Рисунок 3: Аппроксимирующая функция фильтра Баттерворта 4-го порядка

Рисунок 4: Квадрат модуля АЧХ фильтров Баттерворта 4 -го порядка

Фильтры Баттерворта являются фильтрами с максимально-гладкой АЧХ. Скорость спада квадрата модуля АЧХ составляет.

При аппроксимации по Баттервотру, очень часто задают параметр, и на частоте (-3 дБ). Тогда для расчета нормированного ФНЧ Баттерворта при задается только порядок фильтра. Остальные параметры, такие как неравномерность в полосе пропускания и уровень подавлениия в полосе заграждения не задаются.

В случае аппроксимации по Чебышеву, функция, где - многочлен Чебышева порядка. Тогда квадрат модуля частотной характеристики при аппроксимации по Чебышеву можно записать:

(13)

Параметр задает уровень пульсаций в полосе пропускания фильтра и рассчитывается исходя из заданной неравномерности АЧХ в полосе пропускания согласно выражению (4).

На рисунках 5 и 6 показаны аппроксимирующая функция и квадрат модуля АЧХ фильтра Чебышева первого рода порядка при (неравномерность АЧХ фильтра в полосе пропускания). Обратите внимание, что аппроксимирующая функция показана в логарифмическом масштабе.

Рисунок 5: Аппроксимирующая функция фильтра Чебышева первого рода 4-го порядка

Рисунок 6: Квадрат модуля АЧХ фильтра Чебышева первого рода 4-го порядка

Хорошо видно, что в полосе пропускания фильтра Чебышева первого рода совершает равноволновые колебания, в отличии от фильтра Баттерворта, при этом скорость спада АЧХ фильтра Чебышева первого рода выше чем у фильтра Баттерворта.

Дата добавления: 2014-01-20