Нули и полюса фильтра Баттерворта

Порядок расчета фильтра Баттерворта

Введение. Исходные данные для расчета фильтра Баттерворта. Основные соотношения при аппроксимации АЧХ фильтра

В предыдущей статье мы рассмотрели основные свойства полиномов комплексной переменной и передаточной функции аналогового фильтра. Также была рассмотрена постановка задачи расчета фильтра, и проанализированы основные виды аппроксимирующих полиномов АЧХ фильтра.

В данной статье мы рассмотрим расчет фильтра Баттерворта по заданному коридору АЧХ, показанному на рисунке 1.

Рисунок 1: Идеальная и реальная АЧХ ФНЧ

Приведем основные соотношения связывающие параметры аппроксимации АЧХ (данные соотношения были подробно рассмотрены здесь):

(1)

Аппроксимация АЧХ ФНЧ Баттерворта представляется в виде:

(2)

Порядок фильтра Баттерворта рассчитывается из уравнения:

(3)

Прологарифмируем правую и левую части уравнения и получим:

(4)

Все вышеприведенные соотношения уже были рассмотрены ранее. Мы привели их еще раз без пояснений, и они нам будут необходимы при рассечет фильтра Баттерворта.

Итак приступим. Исходными данными для расчета фильтра Баттерворта служат: частота среза, переходная полоса, задаваемая, допустимое искажение в полосе пропускания и требуемое подавление в полосе заграждения.

Первый шаг: из выражения (1) рассчитываются параметры,, и.

Второй шаг расчет требуемого порядка фильтра согласно выражению (4).

Третий шаг расчет передаточной функции фильтра. Здесь мы остановимся подробнее.

Для расчета нулей и полюсов подставим в выражение аппроксимации АЧХ (2), тогда

(5)

Очевидно, что ни при каких конечных комплексных выражение (5) не равно нулю, другими словами, фильтр Баттерворта не имеет нулей. Для расчета полюсов фильтра Баттерворта приравняем знаменатель к нулю:

(6)

Рассмотрим отдельно четные и нечетные. При четных имеем:

(7)

Представим в правой части через комплексную экспоненту,, тогда

(8)

Прологарифмируем левую и правую части уравнения получим:

(9)

Преобразуем:

(10)

тогда:

(11)

И окончательно можно записать выражения для полюсов передаточной функции при четных:

(12)

При нечетных из выражения (6) имеем:

(13)

Представим в правой части через комплексную экспоненту,, тогда

(14)

Прологарифмируем левую и правую части уравнения получим:

(15)

Преобразуем:

(16)

тогда:

(17)

И окончательно можно записать выражения для полюсов передаточной функции при нечетных:

(18)

На рисунке 2 показаны расположения полюсов квадрата модуля передаточной функции, заданной выражением (5) при четном (слева)и нечетном (справа) порядках фильтра Баттерворта.

Рисунок 2: Расположение полюсов квадрата модуля передаточной функции при четном и нечетном порядках фильтра Баттерворта

Все полюса квадрата модуля АЧХ фильтра Баттерворта расположены на окружности радиуса, и отстоят друг от друга на угол. При все полюса расположены на единичной окружности.

Дата добавления: 2014-01-20