Модели экспоненциального сглаживания

Авторегрессионные модели

Самая популярная модель данного класса - ARIMAX рассмотрена мною подробно в наборе записей по соответствующему тэгу ARIMAX.

В основу авторегрессионных моделей заложено предположение о том, что значение процесса Z(t) линейно зависит от некоторого количества предыдущих значений того же процесса Z(t-1),…,Z(t-p).

Авторегрессионная модель скользящего среднего. В области анализа временных рядов модель авторегрессии (autoregressive, AR) и модель скользящего среднего (moving average, MA) является одной из наиболее используемых [1],[5].

Согласно работе [1], модель авторегрессии является исключительно полезной для описания некоторых встречающихся на практике временных рядов. В этой модели текущее значение процесса выражается как конечная линейная совокупность предыдущих значений процесса и импульса, который называется «белым шумом»,

(1.10)

Формула (1.10) описывает процесс авторегреcсии порядка p, который в литературе часто обозначается AR(p), здесь C — вещественная константа, φ₁,..,φ_p — коэффициенты, ε_t — ошибка модели. Для определения φ_i и C используют метод наименьших квадратов [19] или метод максимального правдоподобия [20].

Другой тип модели имеет большое значение в описании временных рядов и часто используется совместно с авторегрессией называется моделью скользящего среднего порядка q и описывается уравнением

(1.11)

В литературе процесс (1.11) часто обозначается MA(q); здесь q — порядок скользящего среднего, ε_t — ошибка прогнозирования. Модель скользящего среднего является по сути дела фильтром низких частот. Нужно отметить, что существуют простые, взвешенные, кумулятивные, экспоненциальные модели скользящего среднего.

Согласно работе [1], для достижения большей гибкости в подгонке модели часто целесообразно объединить в одной модели авторегрессию и скользящее среднее. Общая модель обозначается ARMA(p,q) соединяет в себе фильтр в виде скользящего среднего порядка q и авторегрессию фильтрованных значений процесса порядка p.

Если в качестве входных данных используются не сами значения временного ряда, а их разность d-того порядка (на практике d необходимо определять, однако в большинстве случаев d ≤ 2), то модель носит название авторгерессии проинтегрированного скользящего среднего. В литературе данную модель называют ARIMA(p,d,q) (autoregression integrated moving average).

Развитием модели ARIMA(p,d,q) является модель ARIMAX(p,d,q), которая описывается уравнением

(1.12)

Здесь α₁,...,α_S — коэффициенты внешних факторов X₁(t),…,X_S(t). В данной модели чаще всего процесс Z(t) является результатом модели MA(q), то есть отфильтрованными значениями исходного процесса. Далее для прогнозирования Z(t) используется модель авторегрессии, в которой введены дополнительные регрессоры внешних факторов X₁(t),…,X_S(t).

Авторегрессионная модель с условной гетероскедастичностью (autoregressive conditional heteroskedasticity, GARCH) была разработана в 1986 году Тимом Петером Борреслевом и является моделью остатков для модели AR(p) [22]. На первом этапе для исходного временного ряда определяется модель AR(p) (1.10). Далее предполагается, что ошибка модели (1.10) ε_t имеет две составляющие

(1.13)

где σ_t — зависимое от времени стандартное отклонение; ς_t — случайная величина, имеющая нормальное распределение, среднее значение, равное 0, и стандартное отклонение, равное 1. При этом зависимое от времени стандартное отклонение описывается уравнением

(1.14)

Здесь β₀,...,β_q и γ₀,..., γ_p — коэффициенты. Уравнение (1.14) называется моделью GARCH(p,q) и имеет два параметра: p характеризует порядок авторегрессии квадратов остатков; q — количество предшествующих оценок остатков.

Наиболее частое применение данная модель получила в финансовом секторе, где с помощью нее моделируется волатильность. На сегодняшний день существует ряд модификаций модели под названиями NGARCH, IGARCH, EGARCH, GARCH-M и другие [22].

Авторегрессионнная модель с распределенным лагом (autoregressive distributed lag models, ARDLM) недостаточно подробно описана в литературе. Основное внимание данной модели уделяется в книгах по эконометрике [23].

Часто при моделировании процессов на изучаемую переменную влияют не только текущие значения процесса, но и его лаги, то есть значения временного ряда, предшествующие изучаемому моменту времени. Модель авторегрессии распределенного лага описывается уравнением

(1.15)

Здесь φ₀,..., φ_p — коэффициенты, l — величина лага. Модель (1.15) называется ARDLM(p,l) и чаще всего применяется для моделирования экономических процессов [23].

Примеры реализации экспоненциального сглаживания можно найти по тэгу Экспоненциальное сглаживание.

Модели экспоненциального сглаживания разработаны в середине XX века и до сегодняшнего дня являются широко распространенными в силу их простоты и наглядности.

Модель экспоненциального сглаживания (exponential smoothing, ES) применяется для моделирования финансовых и экономических процессов [24]. В основу экспоненциального сглаживания заложена идея постоянного пересмотра прогнозных значений по мере поступления фактических. Модель ES присваивает экспоненциально убывающие веса наблюдениям по мере их старения. Таким образом, последние доступные наблюдения имеют большее влияние на прогнозное значение, чем старшие наблюдения.

Функция модели ES имеет вид

(1.16)

где α — коэффициент сглаживания, 0 < α < 1; начальные условия определяются как S(1) = Z(0). В данной модели каждое последующее сглаженное значение S(t) является взвешенным средним между предыдущим значением временного ряда Z(t) и предыдущего сглаженного значения S(t-1).

Модель Хольта или двойное экспоненциальное сглаживание применяется для моделирования процессов, имеющих тренд. В этом случае в модели необходимо рассматривать две составляющие: уровень и тренд [24]. Уровень и тренд сглаживаются отдельно

(1.17)

Здесь α — коэффициент сглаживания уровня, как и в модели (1.16), γ — коэффициент сглаживания тренда.

Модель Хольта-Винтерса или тройное экспоненциальное сглаживание применяется для процессов, которые имеют тренд и сезонную составляющую

(1.18)

Здесь R(t) — сглаженный уровень без учета сезонной составляющей

(1.19)

G(t) — сглаженный тренд

(1.20)

а S(t) — сезонная составляющая

(1.21)

Величина L определяется длиной сезона исследуемого процесса. Модели экспоненциального сглаживания наиболее популярны для долгосрочного прогнозирования.

Дата добавления: 2014-01-20