Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Модели экспоненциального сглаживания


Авторегрессионные модели

Самая популярная модель данного класса - ARIMAX рассмотрена мною подробно в наборе записей по соответствующему тэгу ARIMAX.

В основу авторегрессионных моделей заложено предположение о том, что значение процесса Z(t) линейно зависит от некоторого количества предыдущих значений того же процесса Z(t-1),…,Z(t-p).

Авторегрессионная модель скользящего среднего. В области анализа временных рядов модель авторегрессии (autoregressive, AR) и модель скользящего среднего (moving average, MA) является одной из наиболее используемых [1],[5].

Согласно работе [1], модель авторегрессии является исключительно полезной для описания некоторых встречающихся на практике временных рядов. В этой модели текущее значение процесса выражается как конечная линейная совокупность предыдущих значений процесса и импульса, который называется «белым шумом»,

(1.10)

Формула (1.10) описывает процесс авторегреcсии порядка p, который в литературе часто обозначается AR(p), здесь C — вещественная константа, φ1,..,φp — коэффициенты, εt — ошибка модели. Для определения φi и C используют метод наименьших квадратов [19] или метод максимального правдоподобия [20].

Другой тип модели имеет большое значение в описании временных рядов и часто используется совместно с авторегрессией называется моделью скользящего среднего порядка q и описывается уравнением

(1.11)

В литературе процесс (1.11) часто обозначается MA(q); здесь q — порядок скользящего среднего, εt — ошибка прогнозирования. Модель скользящего среднего является по сути дела фильтром низких частот. Нужно отметить, что существуют простые, взвешенные, кумулятивные, экспоненциальные модели скользящего среднего.

Согласно работе [1], для достижения большей гибкости в подгонке модели часто целесообразно объединить в одной модели авторегрессию и скользящее среднее. Общая модель обозначается ARMA(p,q) соединяет в себе фильтр в виде скользящего среднего порядка q и авторегрессию фильтрованных значений процесса порядка p.

Если в качестве входных данных используются не сами значения временного ряда, а их разность d-того порядка (на практике d необходимо определять, однако в большинстве случаев d ≤ 2), то модель носит название авторгерессии проинтегрированного скользящего среднего. В литературе данную модель называют ARIMA(p,d,q) (autoregression integrated moving average).

Развитием модели ARIMA(p,d,q) является модель ARIMAX(p,d,q), которая описывается уравнением

(1.12)

Здесь α1,...,αS — коэффициенты внешних факторов X1(t),…,XS(t). В данной модели чаще всего процесс Z(t) является результатом модели MA(q), то есть отфильтрованными значениями исходного процесса. Далее для прогнозирования Z(t) используется модель авторегрессии, в которой введены дополнительные регрессоры внешних факторов X1(t),…,XS(t).



Авторегрессионная модель с условной гетероскедастичностью (autoregressive conditional heteroskedasticity, GARCH) была разработана в 1986 году Тимом Петером Борреслевом и является моделью остатков для модели AR(p) [22]. На первом этапе для исходного временного ряда определяется модель AR(p) (1.10). Далее предполагается, что ошибка модели (1.10) εt имеет две составляющие

(1.13)

где σt — зависимое от времени стандартное отклонение; ςt — случайная величина, имеющая нормальное распределение, среднее значение, равное 0, и стандартное отклонение, равное 1. При этом зависимое от времени стандартное отклонение описывается уравнением

(1.14)

Здесь β0,...,βq и γ0,..., γp — коэффициенты. Уравнение (1.14) называется моделью GARCH(p,q) и имеет два параметра: p характеризует порядок авторегрессии квадратов остатков; q — количество предшествующих оценок остатков.

Наиболее частое применение данная модель получила в финансовом секторе, где с помощью нее моделируется волатильность. На сегодняшний день существует ряд модификаций модели под названиями NGARCH, IGARCH, EGARCH, GARCH-M и другие [22].

Авторегрессионнная модель с распределенным лагом (autoregressive distributed lag models, ARDLM) недостаточно подробно описана в литературе. Основное внимание данной модели уделяется в книгах по эконометрике [23].

Часто при моделировании процессов на изучаемую переменную влияют не только текущие значения процесса, но и его лаги, то есть значения временного ряда, предшествующие изучаемому моменту времени. Модель авторегрессии распределенного лага описывается уравнением

(1.15)

Здесь φ0,..., φp — коэффициенты, l — величина лага. Модель (1.15) называется ARDLM(p,l) и чаще всего применяется для моделирования экономических процессов [23].

Примеры реализации экспоненциального сглаживания можно найти по тэгу Экспоненциальное сглаживание.

Модели экспоненциального сглаживания разработаны в середине XX века и до сегодняшнего дня являются широко распространенными в силу их простоты и наглядности.

Модель экспоненциального сглаживания (exponential smoothing, ES) применяется для моделирования финансовых и экономических процессов [24]. В основу экспоненциального сглаживания заложена идея постоянного пересмотра прогнозных значений по мере поступления фактических. Модель ES присваивает экспоненциально убывающие веса наблюдениям по мере их старения. Таким образом, последние доступные наблюдения имеют большее влияние на прогнозное значение, чем старшие наблюдения.

Функция модели ES имеет вид

(1.16)

где α — коэффициент сглаживания, 0 < α < 1; начальные условия определяются как S(1) = Z(0). В данной модели каждое последующее сглаженное значение S(t) является взвешенным средним между предыдущим значением временного ряда Z(t) и предыдущего сглаженного значения S(t-1).

Модель Хольта или двойное экспоненциальное сглаживание применяется для моделирования процессов, имеющих тренд. В этом случае в модели необходимо рассматривать две составляющие: уровень и тренд [24]. Уровень и тренд сглаживаются отдельно

(1.17)

Здесь α — коэффициент сглаживания уровня, как и в модели (1.16), γ — коэффициент сглаживания тренда.

Модель Хольта-Винтерса или тройное экспоненциальное сглаживание применяется для процессов, которые имеют тренд и сезонную составляющую

(1.18)

Здесь R(t) — сглаженный уровень без учета сезонной составляющей

(1.19)

G(t) — сглаженный тренд

(1.20)

а S(t) — сезонная составляющая

(1.21)

Величина L определяется длиной сезона исследуемого процесса. Модели экспоненциального сглаживания наиболее популярны для долгосрочного прогнозирования.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Регрессионные модели | Модели на базе цепей Маркова

Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 1192; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.003 сек.