Уравнения регрессии. Корреляция и коэффициент корреляции В начало пункта Оглавление

Корреляция и коэффициент корреляции

В начало пункта

Оглавление

Ситуация, когда одно явление похоже на другое (или, наоборот, наблюдения обратно зависимы) или одно явление оказывает заметное влияние на другое называют корреляцией. Таким образом, если две кривые коррелируют между собой, то на глаз можно отметить совпадение по времени отдельных локальных максимумов или минимумов. Мы, таким образом, получим качественное представление о корреляции. Количественную характеристику дает коэффициент корреляции, который может принимать любые значения от -1 до +1. Если между величинами Х и Y существует точная детерминированная, линейная зависимость, то коэффициент корреляции равен 1 или -1, а при отсутствии корреляции (Х и Y независимы) - нулю.

По промежуточному значению коэффициента корреляции можно судить о степени связи величин между собой. Пусть

,.

Возьмем эту точку в качестве начала координат новой системы,. Мы получим точки на плоскости, рассеянные около начала координат. Если при x>0 наблюдается, как правило, y>0, а при x<0 - y<0, то говорят, что корреляция положительная. В противном случае - отрицательная.

Возьмем сумму произведений. При положительной корреляции почти все члены этой суммы положительны, практически никакой компенсации не происходит. Однако, величина этой суммы зависит как от числа членов, так и от масштабов, в которых измеряются величины x и y, а не только от корреляции. Чтобы исключить влияние числа членов суммы и масштабов, в качестве эмпирического коэффициента корреляции берут

,

где

Если n - невелико, то может быть отличным от нуля даже и в том случае, когда X_k и Y_k не коррелируют. Просто случайным образом точки расположили на плоскости так, что оказалось отличным от нуля. Поэтому помимо вычисления эмпирического коэффициента корреляции необходимо определить и его среднеквадратическую погрешность

Рассмотрим частный случай. Пусть Х и Y связаны между собой строгой линейной зависимостью.

Тогда все наблюдения (X_k, Y_k) подчиняются этой зависимости,, т.е. y_k=ax_k

Очевидно, что.

Следовательно,.

В реальных ситуациях лежит между этими двумя пределами.

В начало пункта

Оглавление

Аппроксимация данных с учетом их статистических параметров относится к задачам регрессии. Они обычно возникают при обработке экспериментальных данных, полученных в результате измерений процессов или физических явлений, статистических по своей природе (как, например, измерения в радиометрии и ядерной геофизике), или на высоком уровне помех (шумов). Задачей регрессионного анализа является подбор математических формул, наилучшим образом описывающих экспериментальные данные.

Математическая постановка задачи регрессии заключается в следующем. Зависимость величины (числового значения) определенного свойства случайного процесса или физического явления Y от другого переменного свойства или параметра Х, которое в общем случае также может относиться к случайной величине, зарегистрирована на множестве точек множеством значений при этом в каждой точке зарегистрированные значения Y_k и X_k отображают действительные значения Y_k(X_k) со случайной погрешностью, распределенной, как правило, по нормальному закону. По совокупности значений Y_k требуется подобрать функцию для которой зависимость Y(X) отображалась бы с минимальной погрешностью.

Функцию называют регрессией величины y на величину х. Регрессионный анализ предусматривает задание вида функции и определение численных значений ее параметров a₀, a₁, …, a_n, обеспечивающих наименьшую погрешность приближения к множеству значений Y_k. Как правило, при регрессионном анализе погрешность приближения вычисляется методом наименьших квадратов (МНК).

Виды регрессии обычно называются по типу аппроксимирующих функций: полиномиальная, экспоненциальная, логарифмическая и т.п.

Дата добавления: 2014-01-20