Интерполяция

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 17 апреля 2012; проверки требуют 16 правок.

О функции, см.: Интерполянт.

Интерполя́ция, интерполи́рование — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов». К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса-Торина (Riesz-Thorin theorem) и теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), являющиеся основой для множества других работ.

Содержание [убрать] · 1 Определения · 2 Пример · 3 Способы интерполяции o 3.1 Интерполяция методом ближайшего соседа o 3.2 Интерполяция многочленами o 3.3 Обратное интерполирование (вычисление x при заданном y) o 3.4 Интерполяция функции нескольких переменных o 3.5 Другие способы интерполяции · 4 Смежные концепции · 5 См. также

[править]Определения

Рассмотрим систему несовпадающих точек () из некоторой области. Пусть значения функции известны только в этих точках:

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции из заданного класса функций, что

· Точки называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.

· Пары называют точками данных или базовыми точками.

· Разность между «соседними» значениями — шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным, так и постоянным.

· Функцию — интерполирующей функцией или интерполянтом.

[править]Пример

1. Пусть мы имеем табличную функцию, наподобие описанной ниже, которая для нескольких значений определяет соответствующие значения:

	0,8415
	0,9093
	0,1411
	−0,7568
	−0,9589
	−0,2794

Интерполяция помогает нам узнать какое значение может иметь такая функция в точке, отличной от указанных (например, при x = 2,5).

К настоящему времени существует множество различных способов интерполяции. Выбор наиболее подходящего алгоритма зависит от ответов на вопросы: как точен выбираемый метод, каковы затраты на его использование, насколько гладкой является интерполяционная функция, какого количества точек данных она требует и т. п.

2. Найти промежуточное значение (способом линейной интерполяции).

	15.5
	?
	19.2

[править]Способы интерполяции

[править]Интерполяция методом ближайшего соседа

Простейшим способом интерполяции является интерполяция методом ближайшего соседа.

[править]Интерполяция многочленами

На практике чаще всего применяют интерполяцию многочленами. Это связано прежде всего с тем, что многочлены легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций (теорема Вейерштрасса).

· Линейная интерполяция

· Интерполяционная формула Ньютона

· Метод конечных разностей

· ИМН-1 и ИМН-2

· Многочлен Лагранжа (интерполяционный многочлен)

· По схеме Эйткена

· Сплайн-функция

· Кубический сплайн

[править]Обратное интерполирование (вычисление x при заданном y)

· Полином Лагранжа

· Обратное интерполирование по формуле Ньютона

· Обратное интерполирование по формуле Гаусса

[править]Интерполяция функции нескольких переменных

· Билинейная интерполяция

· Бикубическая интерполяция

[править]Другие способы интерполяции

· Рациональная интерполяция

· Тригонометрическая интерполяция

Дата добавления: 2014-01-20