Процедура выполнения однофакторного дисперсионного анализа

Статистики, используемые в дисперсионном анализе.

Эта-квадрат (η²)— корреляционное отношение. С ее помощью выражают степень влияния или силу эффекта X (независимой переменной, фактора) на У (зависимую переменную). Значение Эта-квадрат лежит в интервале от 0 до 1.

F-статистика (F-statistic). Нулевую гипотезу о том, что категориальные средние в двух выборочных совокупностях равны, проверяют с помощью f-статистики, представляющей собой отношение межгрупповой дисперсии к дисперсии ошибки (отношение среднего квадрата X к среднему квадрату ошибки).

Средний квадрат (mean square). Сумма квадратов отклонений наблюдений, деленная на соответствующее ей число степеней свободы.

SS_между, вариация переменной Y, обусловленная различием средних между группами (межгрупповая дисперсия) (SS_between, SSx). Вариация переменной К, связанная с вариацией средних значений категорий переменной X. Она представляет собой вариацию между уровнями переменной X или долю в сумме квадратов переменной Y, связанную с переменной X.

S ٍ Sвнyтpu, вариация переменной Y, обусловленная вариацией внутри каждой группы категорий (внутригрупповая дисперсия) (SSwithin SSerror). Это вариация переменной Y, обусловленная изменением внутри каждой из групп переменной X.

Общая сумма квадратов SSy - Полная дисперсия переменной Y.

ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

Довольно часто у маркетологов возникает необходимость установить различия в средних значениях зависимой переменной для нескольких категорий одной независимой переменной (фактора).

• Различаются ли разные сегменты рынка с точки зрения объема потребления товара?

• Действительно ли различаются оценки торговой марки группами респондентов, которые посмотрели разные рекламные ролики?

• Различается ли отношение розничных, оптовых торговцев и торговых агентов к политике распределения, проводимой фирмой?

• Зависит ли намерение потребителей приобрести товар данной торговой марки от разницы в уровнях цен?

• Влияет ли осведомленность потребителей о магазине (высокая, средняя и низкая) на предпочтение данного магазина?

Ответ на эти и другие вопросы можно получить, выполнив однофакторный дисперсионный анализ.

Процедура выполнения однофакторного дисперсионного анализа включает: определение зависимых и независимых переменных, разложение общей вариации, измерение эффектов, проверку значимости и интерпретацию результатов.

Определение зависимой и независимой переменных

Пусть Y— зависимая переменная, а X— независимая переменная. К— это категориальная переменная, имеющая с категорий (уровней, групп). Для каждой группы X существует n наблюдений Y, как это показано в табл. 16.1. Из данных таблицы видно, что размер выборки в каждой группе X равен n, а размер общей выборки N = n х с. Для упрощения допускают, что размеры выборок в группах переменной X (групповые размеры) равны, но это допущение необязательно.

Разложение полной вариации

Для изучения различий между средними однофакторный дисперсионный анализ использует разложение полной вариации (decomposition of the total variation), наблюдаемой в зависимой переменной.

Полную вариацию У, обозначаемую SS, можно разложить на два компонента:

SS_y=SS_между+SS_внутри

где нижние индексы между (between) и внутри (within) относятся к группам переменной X.

SSмежду также обозначают как SSx. SSвнyтpu также называют дисперсией ошибки SSошибки

SS_y = SS_x+ SS_ошибки

Где SS_y=

SS_x=

SS_ошибки=

— отдельное наблюдение

—среднее для группы/

— среднее для всей выборки или общая средняя

Yij — i-наблюдение в j-группе

В дисперсионном анализе мы определяем два показателя вариации: внутри групп (SSвнутри) (внутригрупповая изменчивость) и между группами (SSмежду) (межгрупповая изменчивость).

Измерение эффекта

Эффект влияния переменной X на Y вычисляют по формуле:

=

Значение корреляционного отношения лежит в пределах от 0 до 1. Оно равно нулю, когда все групповые средние равны, т.е. переменная X не влияет на Y. Значение равно 1, когда внутри каждой из групп переменной X изменчивость отсутствует, но имеется некоторая изменчивость между группами.

Проверка значимости

В однофакторном дисперсионном анализе проверяют нулевую гипотезу, утверждающую, что групповые средние в рассматриваемой совокупности равны. Другими словами,

H₀ =µ₁=µ₂=µ₃…=µ_c

В соответствии с нулевой гипотезой значения SSx и SSoшибки зависят от одного источника вариации. В таком случае оценка дисперсии совокупности может определяться межгрупповой или внутри групповой вариацией. Иначе говоря, оценка дисперсии совокупности Y

=

= средний квадрат, обусловленный действием X

= MSx

или

=

= средний квадрат, обусловленный действием всех факторов, кроме X

=MSошибки

Нулевую гипотезу можно проверить с помощью F-статистики, рассчитываемой как отношение между этими двумя оценками дисперсий:

=

Эта статистика подчиняется F-распределению с числом степеней свободы, равным (с — 1) и (N — с). F-распределение представляет собой распределение вероятностей отношений выборочных дисперсий. Значение F зависит от числа степеней свободы в числителе и знаменателе.

Определение достоверности результатов исследования методом Фишера проводят по формуле: F F_st

Где F_st –табличное значение

Интерпретация результатов

Если нулевую гипотезу о равенстве групповых средних не отклоняют, то независимая переменная не оказывает статистически значимого влияния на зависимую переменную. С другой стороны, если нулевую гипотезу отклонить, то эффект независимой переменной на зависимую трактуется как статистически значимый. Другими словами, среднее значение зависимой переменной различно для различных групп независимой переменной. Сравнение значений групповых средних показывает характер влияния независимой переменной.

4 Многофакторный дисперсионный анализ.

При проведении маркетинговых исследований часто приходится иметь дело с одновременным влиянием нескольких факторов.

• Как меняется намерение потребителей купить товар данной торговой марки при различных уровнях цены и распределения?

• Как уровень рекламы и уровень цен (высокий, средний, низкий) одновременно влияют на продажи товара данной торговой марки?

• Влияет ли на выбор потребителем данной торговой марки уровень образования (ниже среднего, среднее, колледж, высшее) и возраст?

• Как осведомленность об универмаге (высокая, средняя, низкая) и представление о нем (позитивное, нейтральное, негативное) влияют на предпочтение потребителем этого магазина?

При определении влияния на зависимую переменную нескольких факторов можно использовать многофакторный дисперсионный анализ. Главное преимущество этого метода в том, что он позволяет исследователю изучать взаимодействие факторов. Взаимодействия (interaction) имеют место, когда эффекты одного фактора на зависимую переменную зависят от уровня других факторов.

Процедура многофакторного дисперсионного анализа аналогична процедуре однофакторного дисперсионного анализа. Статистики, соответствующие многофакторному дисперсионному анализу, также определяются аналогично определению статистик в однофакторном дисперсионном анализе. Рассмотрим простой пример, в который входят факторы Х1 и Х2 с уровнями с1 и с2 соответственно. В этом случае полная вариация раскладывается следующим образом:

Если окажется, что эффект взаимодействия статистически значимый, значит, эффект X1 зависит от X2 и наоборот. Поскольку эффект (влияние) одного фактора неоднородный, а зависит от уровня другого фактора, то вообще бессмысленно проверять значимость главных эффектов.

Однако имеет смысл проверить значимость главного эффекта каждого фактора, если эффект взаимодействия статистически незначимый.

Значимость главного эффекта каждого фактора (significance of the main effect of each factor) можно проверить следующим образом (для X1):

При анализе предполагалось, что план эксперимента сбалансированный (число случаев в каждой ячейке одинаково). Если это не так, то анализ становится сложнее.

Дата добавления: 2014-01-20