Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

Основная теорема статики - Теорема Пуансо.

Главный вектор и главный момент произвольной системы сил.

Лемма о параллельном переносе силы.

Произвольная пространственная система сил и условия её равновесия.

Лекция 5

Не изменяя статического состояния твердого тела силу приложенную к этому телу можно перенести в любую её точку параллельно самой себе прилагая при этом некоторую присоединенную пару сил.

Доказательство: Пусть у твердому телу в точке А приложена сила (рис.5.1) в произвольной точке о этого же тела приложим две взаимоуравновешивающие силы и равны модулю силы, а линии их действия параллельны силе.

Поэтому сила является эквивалентной силе приложенной в точке О и паре сил. С моментом равным моменту данной силы относительно точки О. полученную указанным образом пару сил {; } называют присоединенной парой сли. Лемма доказана.

Главным вектором называется векторная сумма всех сил входящих в заданную систему.

(5.1)

Главным моментом такой системы сил называется векторная сумма моментов всех сил относительно центра проведения точки О входящих в систему.

(5.2)

где радиус вектор проведенный из центра О в точку приложения силы.

Проецируя левые и правые части выражение 5.1 и 5.2 на оси декартовой системы координат (X,Y,Z) получаем аналитические выражения для главного вектора.

;; (5.3)

;; (5.4)

Где и проекции главного вектора F и главного момента

М_О на оси координат, модули и направления определяются следующими формулами:

(5.5)

(5.6)

Теорема: Произвольную систему сил действующих на твердое тело можно заменить эквивалентной системой состоящей из одной силы которая приложена произвольно одной паре сил момент которой равен главному моменту всех сил относительно выбранного центра приведения.

Доказательство: Рассмотрим произвольную систему сил (рис.5.2),

Произвольную точку О выберем за центр приведения. Согласно лемме перенесем все силы, в центр приведения О. В результаты система сил равносильна

приложенных в т.О (рис 5.2а). И присоединенным парой сил моменты которых (рис 5.2б) имеют вид:

…………………………………….

Равнодействующая FO полученная сходящейся системой сил равна:

Результирующая пара с моментом М_o для системы присоеденненых пар имеет вид:

Из основной теоремы статики следует, что две системы сил для которых величины и совпадают - статически эквивалентны, следовательно, для задания системы сил действующих на твердое тело, достаточно задать её главный вектор и главный момент относительно данного центра приведения.

Теорема: Для того чтобы произвольная пространственная система сил находилась в равновесии (была эквивалентна 0) должна быть необходима и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы Си относительно произвольного центра были равны нулю.

(5.7)

Необходимость: Пусть заданная система сил находиться в равновесии. Заданную систему сил преобразуем в эквивалентную ей систему, состоящую из двух сил.

По сколько система сил находиться в равновесии то и система сил так же находиться в равновесии.

На основании аксиомы о двух силах это возможно когда они равны по модулю и противоположны по направлению, и имеют общую линию действия, но для такой системы сил главный вектор и главный момент равны нулю.

Достаточность: Пусть выполняется условие 5.7 для заданной систем. Докажем что при этом система сил эквивалентна нулю. Преобразуем систему сил к двум силам. Для каких сил условие 5.7 имеет вид:

Bыполнимость первого условия означает, что силы равны по модулю и противоположны по направлению.

Выполнимость второго условия указывает на то, что эти силы имеют общую линию действия (момент пары сил равен нулю)

Вывод: Для равновесия произвольной пространственной системы необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на координатные оси и алгебраические суммы моментов этих сил относительно координат осей = 0

Дата добавления: 2014-01-20