Акустические материалы

Лекция 16

Тема: Разложение 2Ɩ периодических функций в ряд Фурье. Разложение функций, заданных в промежутке (0, Ɩ), в ряд Фурье.

16.1 Разложение 2 Ɩ периодических функций в ряд Фурье.

Пусть f(x) – 2Ɩ периодическая функция. Сделаем замену переменной x= t, в результате получим периодическую функцию, которую по известным формулам разложим в ряд Фурье.

, где

Теперь сделаем обратную замену где

Теорема Дирихле остаётся справедливой и для 2Ɩ периодической функции, только выполнение условий теоремы надо проверить в промежутке (-Ɩ; Ɩ)

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию

Решение. Данная функция в промежутке (-2;2)удовлетворяет всем условиям теоремы Дирхиле, поэтому она разлагается в ряд Фурье, который в точках непрерывности сходится к значению функции, а в точках разрыва первого рода сходится к среднему арифметическому пределов слева и справа. Данную функцию периодически продолжим с периодом 4.

На чертеже изображён график суммы ряда Фурье.

Найдём коэффициент ряда Фурье Ɩ=2.

При вычислении интеграла учтено, что, при

16.2. Разложение четных и нечетных 2 Ɩ периодических функций в ряд Фурье.

1) Пусть является четной функцией, т.е. тогда

и ряд Фурье запишется в следующем виде:

2) Пусть является нечетной функцией, т.е. тогда

и ряд Фурье запишется в следующем виде:

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию

Решение. В данном примере Ɩ=1. Все условия теоремы Дирихле для данной функции в промежутке (-1,1) выполняются, поэтому функция разлагается в ряд Фурье. Данную функцию периодически продолжим с периодом 2.

-1

x

y

На чертеже мы изобразили график суммы ряда Фурье. Так как является четной функцией, то

Далее,. Для вычисления последнего интеграла надо дважды применить формулу интегрирования по частям.

Теперь запишем ряд Фурье для данной функции

.

16.3. Разложение функций, заданных в промежутке (0, Ɩ ) в ряд Фурье.

Данную функцию можно продолжить в промежуток (-Ɩ, Ɩ) различными способами. Отметим, что вычислений будет меньше, если функцию продолжить в промежуток (-Ɩ, Ɩ) четным или нечетным способом, так как половина коэффициентов будет равна 0. Затем, полученную функцию надо периодически продолжить с периодом 2Ɩ.

Пример 3. Разложить функцию в ряд Фурье по.

Решение. Так как данную функцию требуется разложить в ряд Фурье по синусам, то ее надо продолжить на промежуток (-3, 3) нечетным образом, а затем функцию продолжить периодически с периодом 6.

-3

x

y

-1

-4

На чертеже изображен график суммы ряда Фурье рассматриваемой функции.

Так как данную функцию продолжили нечетным способом, то

Акустика- наука о звуке.

Человек принес в мир звуков не только речь и музыку. Промышленное производство, транспорт связаны со звуками, которые отрицательно сказываются на здоровье человека.

Следовательно, применение звукопоглощающих материалов имеет огромное значение и одна из главных задач современного строительства - снижение уровня шумового загрязнения помещений.

Интерес к проблеме звукоизоляции вызван несколькими причинами:

1. В жизни человека появляется все больше механизмов и аппаратов, являющихся источниками шума;

2. Урбанизация привела к скученности людей;

3. Строительная причина- уменьшение толщины и массы ОК зданий приводит к снижению их звукоизолирующей способности.

Шумы - совокупность многочисленных звуков, быстро меняющихся по частоте и силе.

Шумы вызываются случайными причинами и не несут полезной информации, мешают жизненным процессам. Оказывают негативное воздействие на психическое и физическое состояние человека. Снижение уровня шумового загрязнения среды, в которой находится человек- важная медико-биологическая и социальная задача.

Слышимые звуки- звуки с частотой

ν = 16 – 20000 Гц.

Кроме того, существуют звуки, не воспринимаемые ухом, но воздействующие на психику человека:

– инфразвуки (ν < 16 Гц);

– ультразвуки (ν > 20000 Гц).

Звуки в воздухе распространяются в виде звуковой волны.

Силу звука в акустике принято характеризовать уровнем силы звука (I_n)- десятикратным логарифмом отношения данной силы звука (I) к пороговой силе звука (минимальной слышимой ухом) (I₀).

Расчет уровня силы звука, дБ, производят по формуле:

I_n = 10 lg (I / I₀ ).

Уровни силы звука, дБ, некоторых видов шумов составляют:

Улица с интенсивным движением транспорта
Среднее по шуму производство
Громкий разговор нескольких человек
Тихий разговор
Шелест листвы
Порог слышимости

Нормативный уровень составляет 40 дБ днем, 30 дБ ночью.

Человеческий организм по-разному реагирует на шум разного уровня. В диапазоне 35-60 дБ реакция индивидуальная (может мешать или нет). Шумы уровня 70-90 дБ при длительном воздействии приводят к заболеванию нервной системы, а более 100 дБ- к снижению слуха, вплоть до глухоты.

Допустимые уровни силы шумов в различных помещениях нормируются СНиП.

Шумы бывают различного вида:

– воздушные (возникают и распространяются по воздуху- разговор, работающий телевизор);

Звуковые волны воздействуют на ОК, приводят их в колебательное движение и тем самым передают звук в соседние помещения, отражаются и частично поглощаются ограждениями, а также проникают через них.

– ударные (возникают в результате ударных и вибрационных воздействий на СК и распространяются по материалу конструкции).

Самый неприятный. Он создается от непосредственного контакта предмета о предмет (например, удары в стену, стук по трубе центрального отопления). Он обычно распространяется на большие расстояния.

Когда хочется тишины и покоя, совершенно все равно, какого вида шум. Наша задача - избавиться от него. Действовать здесь можно двумя способами: снизить уровень шума источника (когда это возможно) или установить преграду на пути звука.

Поэтому вредное действие шумов стремятся уменьшить путем разработки рациональных планировочных и конструктивных решений зданий, осуществляемых с применением акустических материалов и изделий.

Рис.5. Схема взаимодействия звуковой энергии с ОК:

где Е_пад- падающая энергия;

Е_отр- отраженная энергия;

Е_пр- прошедшая энергия;

Е_пог- поглощенная энергия.

Часть энергии отражается от поверхности конструкции, часть энергии поглощается конструкцией и часть проходит сквозь нее.

Соотношение значений этих энергий в основном зависит от 2-х факторов:

– характера поверхности материала конструкции;

– степени упругости и массы материала конструкции.

С точки зрения улучшения акустического климата помещения и внешней среды желательно, чтобы максимум звуковой энергии поглощался ОК, а не отражался и не проходил через нее.

Акустические - материалы, способные поглощать звуковую энергию, снижая уровень силы отраженного звука и препятствуя передаче звука по конструкции.

По этому признаку акустические материалы делят на:

– звукопоглощающие;

– звукоизоляционные.

Звукопоглощающие - преобразуют звуковую энергию в тепловую в результате потерь на внутреннее трение в стенках пор или волокон материала (служат для борьбы с воздушным шумом).

Акустические материалы являются родственными по отношению к теплоизоляционным. И в том, и в другом случае необходима высокая пористость. Однако в связи с тем, что природа воздействия теплового и звукового потока различна, характер оптимальной структуры также отличается. Так, наиболее эффективными теплоизоляционными материалами являются те, которые обладают замкнутой мелкопористой структурой, исключающей конвекцию воздуха. Акустические, в частности звукопоглощающие материалы, должны иметь открытую пористую структуру, способную поглощать звуковую энергию. Для усиления этого эффекта поверхность изделий дополнительно перфорируют или же придают ей рельефный характер. При такой структуре происходит гашение звуковых волн.

Имеют большое количество открытых, сообщающихся пор П_отк > 75%, d ≤ 2 мм.

Имеют волокнистое, зернистое, ячеистое строение.

ρ ˂ 500 кг/м³.

Звук попадает в поры материала и, проходя по ним, передает свою энергию материалу. Он преобразует звуковую энергию в тепловую в результате потерь на внутреннее трение в стенках пор или волокон материала.

Эффективность звукопоглощающих материалов оценивается коэффициентом звукопоглощения (α).

α = Е_пог / Е_пад.

α - показывает какое количество звуковой энергии поглотил материал в единицу времени по сравнению с общим количеством падающей звуковой энергии.

Звукопоглощающая способность материала прямопропорциональна логарифму его массы, т.е. с увеличением массы, повышается его звукоизолирующая способность. Она возрастает, следуя логарифмической кривой, т.е. сначала довольно быстро, а затем весьма медленно. Добиваясь необходимой звукоизоляции, если идти только по пути увеличения массы, это сделает сооружения тяжелыми, громоздкими и дорогими.

α зависит от структуры, величины, характера пор, толщины материала.

Звукопоглощение увеличивается с увеличением разветвляющихся и сообщающихся пор и с увеличением шероховатости поверхности материала.

В полужестком и упругом скелете материала звукопоглощение усиливается за счет деформаций скелета. Поэтому для звукопоглощающего материала лучшей структурой является пористо-волокнистая, например, на основе минеральных волокон (мин. вата).

Звукопоглощающие материалы имеют α > 0,4.

Высоким считается α > 0,8; низким α < 0,2 (α = 1 для открытого окна).

Первые материалы, применявшиеся для поглощения звука: ткани, ковры, меховые шкуры, которыми обивали стены и покрывали полы (α = 0,3…0,6).

В современном строительстве для этой цели используют:

Виды звукопоглощающих материалов и изделий:

– минераловатные плиты;

Специально формуются для акустических целей. Отличаются от ТИ более жестким скелетом, сквозной пористостью и внешней отделкой.

Название- «Акмигран», «Акминит».

Размер 300×300×20 мм.

α = 0,6…0,7.

Применяют для устройства звукопоглощающих потолков в общественных и производственных зданиях.

– газобетонные плиты;

– гипсовые плиты с перфорацией и ребрами жесткости;

Размер 600×600×8,5 мм.

Перфорация облегчает доступ звуковых волн к материалу и в зависимости от размера и формы отверстий, их наклона и глубины, а также процента перфорации (отношение площади, занимаемой отверстиями, к общей площади изделия) увеличивает коэффициент звукопоглощения на 10...20 % и более.

С обратной стороны имеют звукопоглощающий слой из нетканого полотна, гофрированной бумаги, мин. ваты.

– штучные звукопоглотители (кубы, щиты, пирамиды);

Наибольший эффект звукопоглощения достигается при расположении звукопоглотителя в непосредственной близости от источника звука. В этом случае часть звуковой энергии гасится до того, как она проникает в помещение. Поэтому в общественных и особенно в промышленных зданиях большое практическое значение имеют штучные звукопоглотители в виде отдельных щитов, кубов, призм, конусов, шаров, подвешиваемых к потолкам шумных помещений или устанавливаемых на полу вблизи источника звука (станка, механизма и т.д.). Стенки штучных поглотителей имеют перфорацию, а полости между ними заполнены или облицованы изнутри пористыми материалами.

– пустотелый глиняный кирпич, имеющий форму акустического резонатора;

– специальные штукатурки на пористых заполнителях

(вспученные перлит и вермикулит, легкие виды керамзита, природной или шлаковой пемзы);

α = 0,25…0,4.

Звукоизоляционные (прокладочные) - применяют для снижения уровня ударных и вибрационных шумов, передающихся через строительные конструкции (служат для борьбы с ударными шумами).

Механизм действия таких материалов заключается в переводе энергии звуковых колебаний в тепловую энергию в результате внутреннего трения деформируемых элементов материала (н-р, волокон) или упругих деформаций самого материала (резиновые прокладки).

Эффективность звукоизоляционных материалов оценивается динамическим модулем упругости (Е).

Чем ниже Е, тем больше ударных звуковых колебаний поглощает материал и тем ниже скорость распространения звука.

Скорость распространения продольной волны составляет (м/с): в стали- 5050, граните- 3950, железобетоне- 4100, кирпиче- 3350, дереве- 1500, пробке- 500, резине- 30.

С уменьшением плотности данного материала его динамический модуль упругости также понижается. По этой причине звукоизоляционные прокладочные материалы изготовляют высокопористыми (40...90 % сквозных пор). Однако при одинаковой плотности, но при разном качестве исходных компонентов и составе материала величина динамического модуля упругости может значительно колебаться. В особенности это важно учитывать при работе звукоизоляционного материала под нагрузкой. В большинстве случаев звукоизоляционные прокладочные материалы работают под действием сжимающих сил (в перекрытиях, стыках несущих конструкций, в конструкциях амортизаторов под машины и оборудование). В результате этого материал сжимается, что сопровождается возрастанием модуля упругости. Поэтому его величину следует определять после стабилизации сжатия, а сжимаемость учитывать при назначении толщины прокладок.

Для эффективной работы динамический модуль упругости не должен превышать 1,0…2,0 МПа (для сравнения модуль упругости бетона и кирпича ≈ 10⁴ МПа):

Е ≤ 2,0 МПа.

Указанным требованиям удовлетворяют звукоизоляционные материалы и изделия, имеющие пористо-волокнистую или пористо-губчатую структуру.

Виды звукоизоляционных материалов и изделий:

– упругие материалы волокнистого строения- маты и плиты полужесткие из минеральной и стекловаты;

– эластичные газонаполненные пластмассы;

– ДВП;

– пенопласты;

– прокладки из пористой резины и эластичных полимеров (поропласты из полиуретановых, поливинилхлоридных и других полимеров).

Применяются в ограждающих конструкциях (стены, перегородки), в кровельных покрытиях, междуэтажных перекрытиях.

Рис. 6. Схема применения звукоизоляционных материалов в междуэтажных перекрытиях.

Одни из этих материалов применяют для сплошных звукоизоляционных прокладок под полы, укладываемых по всей площади перекрытий, другие- для полосовых и штучных прокладок, разделяющих несущую часть перекрытия от конструкции пола.

Дата добавления: 2014-01-20