Тетраэдр и параллелепипед

При изучении многоугольников в курсе планиметрии вводятся два определения многоугольника:

Df 1: Многоугольник – это замкнутая линия, составленная из непересекающихся отрезков (рис. 1, а).

Df 2: Многоугольник – это часть плоскости, ограниченная замкнутой линией, составленной из непересекающихся отрезков, включая ее саму (рис. 1, б).

Рис. 1, а

Рис. 1, б

При рассмотрении геометрических фигур на плоскости пользуются в основном первым определением. При изучении поверхностей и геометрических тел в пространстве мы будем использовать второе определение многоугольника.

Рассмотрим произвольный треугольник и точку , не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединив точку отрезками с вершинами треугольника , получим треугольники , и .

Df 3: Поверхность, составленная из четырех треугольников , , и , называется тетраэдром и обозначается: или (рис. 2).

Рис. 2

Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями тетраэдра, стороны этих треугольников (отрезки, попарно соединяющие точки , , и ) – ребрами тетраэдра, а сами точки , , , – вершинами тетраэдра. Иногда выделают одну из граней тетраэдра и называют ее основанием, а три другие – боковыми гранями тетраэдра. Тетраэдр состоит из:

4 граней: , , и ;

6 ребер: , , , , и ;

4 вершин: , , и .

Df 4: Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными или скрещивающимися.

Пары противоположных ребер: и ; и ; и .

Тетраэдр изображается обычно так, как показано на рис. 2. При этом штриховыми (пунктирными) линиями изображаются невидимые ребра.

Рассмотрим два равных параллелограмма и , расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки , , и параллельны (рис. 3).

Рис. 3 Рис. 4

Четырехугольники , , и также являются параллелограммами, так как каждый из них имеет попарно параллельные стороны, например, в четырехугольнике :

1. стороны и параллельны по условию;

2. стороны и параллельны по свойству линий пересечения двух параллельных плоскостей третьей (см. свойство 1 параллельных плоскостей, лекция 1).

Df 5: Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов и и четырех параллелограммов , , и , называется параллелепипедом и обозначается так: .

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями, их стороны – ребрами, а вершины параллелограммов – вершинами параллелепипеда. Параллелепипед имеет:

6 граней: , , , , и ;

12 ребер: , , , , , , , , , , и ;

8 вершин: , , , , , , , .

Дата добавления: 2014-01-20