Алгоритм метода Гаусса

Запишем расширенную матрицу

(2)

ШАГ 1.

Полагаем .

ШАГ 2.

Находим максимальный по модулю элемент среди элементов -го столбца, расположенных не выше главной диагонали:

(3)

После этого меняем местами строки и . Таким образом мы осуществим выбор главного (диагонального) элемента.
Обозначим полученную расширенную матрицу

(4)

ШАГ 3.

Полагаем .

ШАГ 4.

Вычисляем коэффициент

(5)

ШАГ 5.

Положим

(6)

ШАГ 6.

Полагаем . Если , то переходим к шагу 2, иначе переходим к шагу 7.

ШАГ 7.

Полагаем . Если , то переходим к шагу 2, иначе переходим к шагу 8.

ШАГ 8.

Процесс построения верхней треугольной матрицы окончен, и она имеет вид:

(7)

ШАГ 9.

Начинаем процесс обратной подстановки:

(8)

ШАГ 10.

Stop.

Замечание. Существует стратегия тривиального выбора главного элемента : если , то строки не переставляются, и – главный элемент. Если , то ищем первую строку ниже , где элемент и меняем эти строки местами.

Пример 1. Решить СЛАУ:

Применим для простоты стратегию тривиального выбора.

Расширенная матрица:

Обратный ход:

Пример 2. Иллюстрирует, как использование стратегии тривиального выбора главного элемента в методе исключения Гаусса может привести к значительной ошибке в решении СЛАУ.

Существует точное решение СЛАУ:

I. Будем использовать арифметику с четырьмя знаками точности, плюс стратегию тривиального выбора.

Ошибка обусловлена большим коэффициентом .

II. Применим стратегию выбора наибольшего главного элемента.
Т.к. , меняем местами строки. Получаем:

Замечание: Известно, что чем меньше коэффициенты , тем меньше относительная ошибка при выполнении операций +, –, *, /, тем точнее СЛАУ.

Дата добавления: 2014-01-20