Особенности моделирования управленческих процессов методами цепей Маркова

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Подведение к основной мысли

Актуальность темы

ВВЕДЕНИЕ

ТЕМА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ МЕТОДОМ ДИСКРЕТНЫХ ЦЕПЕЙ МАРКОВА

ЛЕКЦИЯ № 1.1

Основные вопросы лекции:

1. Особенности применения методов теории цепей Маркова.

2. Особенности содержания экономическо-математической постановки задачи на моделирование действий с использованием метода дискретных цепей Маркова.

3. Методы разработки математических моделей дискретных цепей Маркова.

Сложность, динамичность и многообразие действий требуют от руководителей владения современными методами обоснования решений, как при создании транспорта, так и в процессе её применения. В современных условиях на помощь искусству принятия решения, основанному на логическом анализе опыта и интуиции приходит дополнительное средство в виде математических методов, разработанных в теории исследования операций. Этот метод призван находить закономерности в выбранных действиях и рассчитывать их эффективность на основе показателей эффективности, что позволяет наиболее полно использовать информацию о реальной среде для обоснования решения.

При количественном обосновании поиск решения поставленной задачи осуществляется с использованием математической модели исследуемого процесса. Одним из основных инструментов при разработке вероятностных моделей вариантов действий являются Марковские цепи.

Конкретная цель

В лекции рассмотрим основы теории дискретных цепей Маркова для оценки эффективности действий по управлению водным транспортом.

Все действия как объект математического моделирования могут быть представлены в виде системы S, которая может находиться в одном из состояний S_i (где ). Состояния системы определяются конкретной экономической ситуацией для данных условий среды. В большинстве случаев действия объектов исследования выступают перед руководителем как случайные процессы, протекающие во времени.

Случайными процессами - называются такие процессы, которые при их повторении приводят к различным результатам, причём заранее неизвестным к каким именно [1]. Случайный процесс можно рассматривать как числовую функцию времени, принимающую различные реализации:

· одномерный случайный процесс

(1)

· многомерный случайный процесс

(2)

где x(t) - конкретное мгновенное значение случайной величины

Рисунок 1. – Классификация случайных процессов

Каждый случайный процесс системы обладает той или иной возможностью появления. Тогда численная мера степени объективной возможности появления данного случайного процесса – есть вероятностьсобытия P_i(t) [4], а для системы в целом вероятностьеё состояния.

Для математического описания случайных процессов системы S, в ходе которых она изменяет своё состояние, необходимо включать те её элементы, которые интересуют руководителя при принятии решения. Чем больше элементов и связей между ними включено в понятие система, тем больше возможных её состояний S_i приходиться формулировать.

Если для каждого момента времени t₀ вероятность любого состояния системы S_i в будущем (при t > t₀) зависит только от ее состояния в настоящем S_i (при t= t₀) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние, то данные случайные процессы, протекающие в системе называются - Марковскими процессами ( M ). Остальные процессы считаются не Марковскими ().

Пример №1

Грузовой район порта, обрабатывают только самоходные грузовые суда. Поступление каждого из них независимо от остальных судов. Для будущего состояния порта не имеет значение, когда обрабатывалась очередь судов на рейде. Важно то, что она есть, что все причалы заняты, что в данный момент у причалов стоят определённые суда с каким-то количеством различных видов груза.

В принципе любой Немарковский случайный процесс может быть представлен как Марковский, за счёт увеличения числа состояний системы, но для этого необходимо сформулировать новые допущения и ограничения.

Марковские случайные процессы делятся на классы, в зависимости от того, как и в какие моменты времени система S может менять своё состояние:

• процессы со счётным (Сч) и с несчётным () множеством состояний системы;

• процессы стационарные (С) и нестационарные ();

• процессы с дискретным (t_д) и непрерывным (t_н) временем переходов системы из состояния в состояние.

В экономической области решения поставленной задачи всегда есть возможность от несчётного числа состояний системы перейти к счётному.

Пример №2

Перечислить скорость движения судна не как числа, а как имеющие определённый смысл – малый ход, средний ход, полный под, экономическая скорость и т.д.

У стационарных случайных процессов вероятностные характеристики не меняются с течением времени, а у нестационарных - вероятностные характеристики являются функцией времени, прошедшего с начала процесса. Математически могут быть описаны оба класса случайных процессов, но всегда можно с помощью допущений и ограничений нестационарные случайные процессы представить как стационарные.

Пример №3

Поток донесений, поступающих в органы управления порта за сутки в общем не стационарный, но рассматривая его за короткий промежуток времени, его можно представить стационарным.

Дискретные случайные процессы – это процессы, которые происходят в фиксированные моменты времени t_д. Непрерывные случайные процессы являются функцией времени при которых переход системы S из состояния в состояние осуществлении в любой, наперёд неизвестный случайный момент времени t_н.

В зависимости от характера представления действий как случайных процессов выбирают методы их математического моделирования: дискретных цепей Маркова, непрерывных цепей Маркова, статистических испытаний.

Дискретной цепью Маркова − называется случайная Марковская функция со счётным множеством возможных значений случайной величины (где, - число состояний системы), характеризующаяся состояниями системы объекта исследования, изменяющимися в фиксированные моменты времени с некоторой вероятностью p_i.

Непрерывной цепью Маркова − называется случайная Марковская функция со счётным множеством возможных значений случайной величины (где, - число состояний системы), характеризующаяся состояниями системы объекта исследования, изменяющимися в непрерывные моменты времени с некоторой вероятностью p_i [2, с. 194]. Непрерывная цепь Маркова применяется для описания процессов в системах массового обслуживания, а также поисковых действий.

Таким образом, продемонстрирована моделируемость любого случайного процесса действий, интересующего исследователя. Теория Марковских процессов широко используется для построения математических моделей экономических систем, состояние которых зависит от случайных факторов. На водном транспорте к таким системам, прежде всего, относятся порты и судоремонтные предприятия, обслуживающие флот.

Дата добавления: 2014-01-20